Wieso gibt es nur ein Baryonenoktuplet?

Hallo,

Ich bin gerade über folgende Kuriosität im beobachteten
Baryonenspektrum gestolpert, die ich nicht verstehe: Wenn ich mit SU
(3)-Gruppentheorie die 3x3x3-Darstellung der SU(3)_f-Symmetrie für QCD
mit drei masselosen Quarks (u,d,s) reduziere, bekomme ich

3x3x3 = 1 + 10 + 8 + 8

Die dazugehörige Spindarstellungen erhält man aus der Reduktion von
2x2x2 der SU(2)-Spinsymmetrie:

2x2x2 = 10+8+8

Nun ist es so, daß für verschwindenden Drehimpuls l=0, die Flavour-
und Spinwellenfunktion eines Baryons total symmetrisch ist, da die
totale Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion schon vom epsilon-Tensor
im Farbraum erzeugt wird. D.h. durch Vergleich der
Darstellungsreduktion oben müßte es

ein Dekuplet (spin 3/2)
zwei Oktoplets spin (1/2)

von l=0 Baryonen geben. Beobachtet wird aber doch nur ein Oktoplet und
ein Dekuplet, zumindest wenn ich der Literatur wie z.B. Burgess/Moore
"The Standard Model A Primer" glauben schenken soll. Gibt es also
einen tiefschürfenden Grund, weshalb das andere Oktoplet nicht
existiert?

Beste Grüße, Rene.

René Meyer schrieb:

Die beiden Oktett-Darstellungen sind isomorph, die Reduktion also nicht
elementar. Die so gewonnenen Darstellung enthält eine Faktor 2-te Potenz
der irreduziblen Oktetdarstellung, wenn ich mich richtig erinnere.

--

Roland Franzius

Hallo Roland,

On 25 Jul., 18:42, Roland Franzius <[Only registered users see links. ]> wrote:

Was meinst du mit Faktor 2ter Potenz der Oktetdarstellung? Das wäre
doch 64-dimensional, und die 3^3 ist doch nur 27-dimensional...

René Meyer schrieb:

Ein Teilchen der Oktettdarstellung hat den Darstellungsraum

H_(8,1)= C^8 xL^2(R^3).

Zwei Teilchen
H_(2,8)= (H_(8,1))^2 = (C^8 (x) L^2(R^3))^((x)2, das
Tensorproduktquadrat, das man dann irgendwie neu nach direkten Summen
von Drehimpulseigenräumen und dgl. zerlegt.


Allgemein wird eine N-Teilchen-Produktdarstellung im Hilbertraum ohne
Ortsanteil H^((n)) in eine Summe irreduzibler Darstellungen

H^((x)n) = sum_k H^((x) k)

zerlegt in dem Sinn, dass die Operatoren k x k-Blockmatrizen auf der
Diagonalen sind.

Vereinfacht gesagt treten bei der Zerlegung einer n-ten Tensorpotenz im
Dimensionsprodukt n*d = sum k_i einige Summanden k_i mehrfach auf und
man muss dann halt schauen, ob die zu diesen multiplen Dimensionzahlen
gehörigen Darstellung eindeutig bis auf Unitäräqivalenz sind oder nicht.

Wenn nicht, bedeutet es, dass in der Darstellung zu 3 Quarks unter den
gegebenen Nebenbedingungen zwei Baryonen neben Mesonen der 10- und
1-dimensionalen Darstellung vertreten sind.

--

Roland Franzius

René Meyer schrieb:

Ein Teilchen der Oktettdarstellung hat den Darstellungsraum

H_(8,1)= C^8 (x) L^2(R^3).

Zwei Teilchen
H_(2,8)= (H_(8,1))^((x)2 = (C8 (x) L2(R3))^((x)2, das
Tensorproduktquadrat, das man dann irgendwie neu nach direkten Summen
von Drehimpulseigenräumen und dgl. zerlegt.


Allgemein wird eine n-Teilchen-Produktdarstellung im Hilbertraum ohne
Ortsanteil H^((x) n) in eine Summe irreduzibler Darstellungen

H^((x)n) = sum_k H^( (x) k)

zerlegt in dem Sinn, dass die Operatoren k x k-Blockmatrizen auf der
Diagonalen sind.

Vereinfacht gesagt treten bei der Zerlegung einer n-ten Tensorpotenz im
Dimensionsprodukt n*d = sum k_i einige Summanden k_i mehrfach auf und
man muss dann halt schauen, ob die zu diesen multiplen Dimensionzahlen
gehörigen Darstellung eindeutig bis auf Unitäräqivalenz sind oder zu
inäquivalenten Dartstellungen gehören, wie der direkten und der
adjungierten.

Wenn wie hier die Darstellung eindeutig ist, folgt, dass in der
Darstellung zu 3 Quarks unter den gegebenen Nebenbedingungen zwei
Baryonen neben je einem Meson der 10- und 1-dimensionalen Darstellung
vertreten sind.

--

Roland Franzius

René Meyer <[Only registered users see links. ]> wrote in news:0a27abbe-e883-4c53-89fb-
[Only registered users see links. ]:

Die _beiden_ Oktets sind eine gemischte Beschreibung _eines_ existierenden
Oktets.
Das heisst, da fehlt in der Beschreibung eine Information um die beiden
Beschreibungen zu überlagern.
Bei Orbital-Drehimpuls=0 resultiert nur ein Oktet.

--
Selber denken macht klug.

roland.franzius # uos.de@2:240/2188.911 meinte am 25.07.09
zum Thema "Re: Wieso gibt es nur ein Baryonenoktuplet?":

Achtung keine ernsthafte Replik!

Das wäre doch mal was als Bild-Titelgeschichte:










Aber ersatzweise haben wir hier ja Kurt und Co statt die Reaktion auf so
nen Text.
Wobei Du für das "vereinfacht gesagt" schon ne Belobigung verdienst.

Gruss Gerhard

Origin: Lohnarbeit muß sich lohnen für den, der zahlt.
Nicht Arbeit muß sich da lohnen, sondern arbeiten lassen.
---

Vogel schrieb:


Alle drei Objekte die du beschreibst sind von einander verschiedene
Beschreibungen und als solche unterschiedlich so wie voneinander
unterscheidbare Mengen eben.

Wie die Welt ist, das ist nicht Folge irgendeiner (mathematischen)
Ansicht, wie du glaubst, und es gibt, ganz offenbar, keinen heiligen
Gral an Information" oder "Wissen", der das unendlich universe in
ein paar verbindliche "Existenz"-Regeln pressen könnte.

Just Pronto schrieb:

Es handelt es sich bei der elementaren Darstellungs(de)komposition der
Liealgebra der internen Freiheitsgrade von SU(n)(x) L^2(R^3) \ L^2(R^3)
idealerweise um mehrere verschiedene, identische oder nichtidentische,
Teilchen, nicht um Überlagerungen der Zustände eines Teilchens.


--

Roland Franzius

Just Pronto <me@privacy.invalid> wrote in
news:[Only registered users see links. ]:

Drei Objekte? Was meinst du damit?
Das glaube ich nicht, weil es mathematische Ansichten nicht gibt.
Aber die Mathematik bietet grundlegende Beziehungen an, die deswegen auch
von der realen Welt nicht umgangen werden können.
Diese inhaltlich stark reduzierte Idee habe ich nie mein eigen genannt.
Du vertrittst also die dialektisch materialistische Auffassung das
Universum sei unendlich in seiner Vielfalt und raumzeitlicher Ausdehnung?
Es gibt jedoch für alles eine Erklärung warum es so ist, die laut unseren
huetigen Kenntnissen nicht auf eine ultima Ratio zurückzuführen ist.
Dies schliesst natürlich nicht aus, dass ein existierender Zustand,
lediglich ein zufälliger Zustand aus vielen möglichen ist. Jedoch gibt es
auch für die Gesamtheit der Zustände eine Existenzbedingung. Es gibt nichts
ohne Ursache auch wenn diese nur stochastisch sein sollte.
Soviel als Allgemeines.

--
Selber denken macht klug.