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Rotation im n-Dim Raum

Rotation im n-Dim Raum - Forum Physik

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  #1  
Old 06-30-2009, 10:45 AM
Vogel
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Default Rotation im n-Dim Raum



>
In einem 3D-Raum existiert für einen Körper immer nur eine (momentane)
Drehachse.
Der mathemnatische Beweis läuft wohl dahinaus, dass die Kombination von
Drehungen eine lineare Operation ist, in dem Sinne das jede beliebige
Kombination nur einen Endwert liefert.
D1 x D2 x...x Dn -> V
Wie ist das im N-Dim Raum?
Ich vermute, dass es das gleiche ist, da der Beweis nicht
dimensionsabhängig ist.

--
Selber denken macht klug.
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  #2  
Old 07-02-2009, 09:15 AM
Rosmarin Hilscher
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Default Rotation im n-Dim Raum

On 30 Jun., 12:45, Vogel <[Only registered users see links. ]> wrote:

Ich meinte früher : Wann ist eine Symetrieachse des sich drehenden
Körpers eine Drehachse ?
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  #3  
Old 07-02-2009, 11:13 AM
Roland Franzius
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Default Rotation im n-Dim Raum

Michael schrieb:

Ja, selbstverständlich ist Drehung um Achsen in Räumen mit Dimension >3
eine offenbar unsinnige Idee. Die "Achse" ist der Raum der
Eigenvektoren einer Drehung.

--

Roland Franzius
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  #4  
Old 07-02-2009, 01:04 PM
Arnold Neumaier
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Default Rotation im n-Dim Raum

Roland Franzius schrieb:

Nicht ganz unsinnig, sondern nur halb:



Nicht ganz richtig, sondern nur halb:


Die Achse ist der Raum der Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
Dieser Raum kann immer dann 1-dimensional sein, wenn N ungerade ist.

Drehungen haben Eigentwerte +-1 und Determinante 1, also ist die
Dimension des Eigenraums zu -1 gerade, und die des Eigenraums zu 1
kongruent zu N modulo 2. In geraden Dimensionen N (also z.B. in der
Ebene, d.h. f"ur N=2) gibt es also keine Drehungen mit einer Drehachse.

F"ur N=3 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D Eigenraum zu 1,
da dessen Dimension 1 oder 3 sein muss, und drei Eigenwerte 1 bei
einer normalen Matrix (und orthogonale Matrizen sind normal)
nur bei der Identit"at vorkommen.

F"ur N=5 hat jede nichttriviale Drehung einen 1D oder 3D Eigenraum
zu 1, und beides kommt vor. Es gibt also Drehungen im 5-dimensionalen
raum, die eine Drehachse habe, und solche, die keine haben.


Arnold Neumaier
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  #5  
Old 07-02-2009, 04:00 PM
Gerald Knizia
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Default Rotation im n-Dim Raum

Vogel wrote:

Rotationensachsen kann man nur Drehungen innerhalb zweidimensionaler Ebenen
zuordnen (Ebenennormale). Im 3D-Raum sind das alle moeglichen momentanen
Drehungen, allgemein ist das aber nicht so.

Die allgemeine momentane Rotation im n-dimensionalen Raum laesst sich einen
beliebigen antisymmetrische linearen Operator auf diesem Raum
repraesentieren. Den Drehoperator bekommt man dann als
exp(Drehwinkel * die antisymmertrische Matrix)

Im dreidimensionalen gibt es eine naheliegende, eindeutige Bijektion
zwischen allen antisymmetrischen Matrizen und allen Vektoren, so dass man
die Matrix auch vektorartig (d.h., als Rotationsache) interpretieren kann.
--
- C. Gerald Knizia/cgk | #28673212 | this mail was made with intention.


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  #6  
Old 07-02-2009, 05:50 PM
Theo Wollenleben
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Default Rotation im n-Dim Raum

Gregor Scholten schrieb:

Eine Drehung wird durch einen linearen Operator beschrieben. Allerdings
war die Ursprungsfrage nach der momentanen Drehachse. Deswegen müsste
man eigentlich den Nullraum eines antisymmetrischen Matrix untersuchen,
wie Gerald bereits bemerkte. Es gelten entsprechende Aussagen wie für
Drehoperatoren: Antisymmetrische Matrizen haben ein gerade Anzahl
imaginärer Eigenwerten, welche sich zu Paaren komplex konjugierter
Eigenwerten zusammenfassen lassen, und Eigenwert null. Der Nullraum hat
also modulo 2 dieselbe Dimension wie der gesamte Raum. Für ungerade
Dimension gibt es also mindestens eine Achse, die momentan ruht. Für
gerade Dimension kann es nicht genau eine Achse geben, welche ruht, da
der Nullraum gerade Dimension hat.

Siehe: [Only registered users see links. ]
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  #7  
Old 07-03-2009, 08:36 AM
Arnold Neumaier
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Default Rotation im n-Dim Raum

Gregor Scholten schrieb:

Ja.

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  #8  
Old 07-04-2009, 07:39 PM
Vogel
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Default Rotation im n-Dim Raum

Roland Franzius <[Only registered users see links. ]> wrote in
news:h2i4ov$li8$02$[Only registered users see links. ]:

Der Sinn könnte ja sein um etwas zu widerlegen.
Kannst du das mal näher erläutern? Was soll daran unsinnig sein?
Ok, mathematisch völlig einleuchtend.
Warum soll das für Dim>3 nicht gehen?

-- Selber denken macht klug.
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  #9  
Old 07-04-2009, 09:33 PM
Just Pronto
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Default Rotation im n-Dim Raum

Vogel schrieb:


Was du vermutlich meinst, nämlich, daß im R^3 ein um einen
1-dimensionalen Unterraum (eine Gerade, "Achse") rotierendes
3d-Objekt dies auch im R^n, n<3 tun kann, genau so, wie eine
im R^2 um ihren (1d-) Mittelpunkt rotierende Kreisscheibe dies
weiterhin im R^3 tun kann, das geht sicherlich, denn dieser läßt
sich als auch Schichtung unendlich vieler R^2's ansehen, von denen
man nur eine einzelne Schicht betrachtet. Aber das ist eben wohl
nicht gemeint, sondern vielleicht eher eine verallgemeinerte Sicht
der Teilräume in euklidischen Räumen mit d>3, hier der Idee "Achse".
von "Achse".
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  #10  
Old 07-05-2009, 11:06 AM
Vogel
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Default Rotation im n-Dim Raum

Arnold Neumaier <[Only registered users see links. ].at> wrote in
news:[Only registered users see links. ].at:

Ok, einleuchtend. Bei einer Drehung ist die Skalierung gleich 1.
+/- ist die links/rechts Konvention?
Da kommt man wie drauf?
Gibt es da im 4D-Minkowskiraum nicht auch Drehungen mit einer 1D-Achse?
Im 5D gibt es also auch eine Drehung mit einem 3D-Eigenraum.
Es gibt also einen 3D-Unterraum der invariant gegenüber der Drehung ist.
Es bleibt also nur noch ein Bündel von 2D Ebenen übrig, welches die Drehung
vollführt.
Da kann es aber doch eine momentane Drehachse geben.
Könnte man sich das irgendwie intuitiv vorstellen?
Drehmomente, Trägheitsmomente?

--
Selber denken macht klug.
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Tags
ndim , raum , rotation


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