Rotation im n-Dim Raum

Just Pronto <me@privacy.invalid> wrote in news:lmzbm64h8oc5
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Nehmen wir mal den Hyperkreis:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
Diesen translatieren wir nun entlang der 4. Dimension.
Dann haben wir doch eine Hyperzylinderfläche mit einer 1D-Drehachse im 4D.
Oder irre ich da?

--
Selber denken macht klug.

Vogel schrieb:


Du meinst sicherlich, daß alle Rotationsachsen in der größtmöglichen
_enthalten_ sind, es sind alles Teilräume der nächst "größeren" Achse.


Aber wie kannst du dann den folgenden Satz bringen!


Das machen die z.B. Stringtheoretiker schon lange und in der SUSY
werden z.B. schon immer sogar Fermionen und Bosonen ineinander rotiert.

Kein Mensch sonst kam jemals auf die Idee, daß Rotation auf weniger
als mehrere Dimensionen beschränkt sein könnte.


Dieser Gedanke war von deinen Gesprächsteilnehmern als Voraussetzung
immer unterstellt, so wie in der Mathe "üblich". Wie kommst du denn
darauf, daß andere Leute selbst noch nicht auf die Idee gekommen
seien, z.B. Hyperkugeln rotieren zu lassen und wir müssen sogar die
Feststellung machen, daß z.B. u.a. die ganze Topologie ohne deine
Mithilfe erfunden wurde.

Vogel schrieb:


Schreib einfach mal die Gleichung(en) des resultierenden Objektes
hin, dann können die Mathematiker besser erkennen, was du meinst.

Vogel schrieb:


"Sie hat" einen 2d-Unterraum, den sie bei Rotation invariant läßt, s.B.
rotierende Hyperwürfel, die sich leichter zeichnen lassen als Kugeln:
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Selbstverständlich enthält dieser invariant belassene Teilraum,
auch weitere invariant verbleibende Unterräume, d.h. Flächen,
Geraden und Punkte und in diesem Sinne kann die Hyperkugel auch
um eine Gerade (Achse) rotieren - sie kann aber nicht um diese
Gerade rotieren und _ausschließlich_ diese Gerade invariant lassen...

Vogel schrieb:


Hierbei ist das orthogonale Komplement wichtig:
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Dieser Begriff hilft ebenfalls beim Verständnis weshalb geradzahlig
dimensionale Räume generell andere Rotationshyperachsen haben als
nichtgeradzahlig dimensionale.

Dieses Spacetime wheel ist "ziemlich interessant":
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Just Pronto <me@privacy.invalid> wrote in news:k1sslxuvkjox
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Das ist in dann mit innbegriffen.
Es erschliesst sich mir nicht, wo du da einen Widerspruch siehst.
Du meinst meine obige Aussage sei bereits in der von dir erwähnten
Definition eingeschlossen?
Da hast du mich offenbar missverstanden.
Du meinst Rotation sei nur _in_ mehreren Dimensionen möglich, klar.
Ich meinte aber, die Dimensionen der Rotation selber, als die Dimension
jenes Raumes der bei der Rotation nicht invariant bleibt.
Nur weil ich davon sprach, unterstelle ich doch nicht, dass andere noch
nicht auf diesen Gedanken gekommen sind. Ich habe der Diskussion
schlichtweg ihren Lauf gelassen.

--
Selber denken macht klug.

Vogel schrieb:

Sie hat aber viele Sym metriefl"achen.

Vogel schrieb:

Hatte mich verschrieben. Drehungen haben Determinante 1 (das Produkt
aller Eigenwerte) und Eigenwerte lambda vom Betrag 1.



Nein. Im R^2 haben alle Drehungen ausser der um 0 oder 180 Grad zwei
konjugiert komplexe Eigenwerten. DieDrehung um 0 Grad ist die
Identit"at und hat zwei Eigenwerte +1, und die Drehung um 180 Grad
hat zwei Eigenwerte -1.



Das gilt trotz der obigen Schlamperei immer noch.



Mit lambda ist auch lambda^* (das konjugiert Komplexe) ein
Eigenwert. Weil das f"ur nichtreelle lambda von lambda verschieden ist,
treten alle nichtreelllen Eigenwerte paarweise auf und liefern den
Beitrag lambda*lambda^*=|lambda|^2=1 zur Determinante. Daher ist das
Produkt der rellen Eigenwerte immer noch gleich 1. Daher hat der
Eigenwert -1 gerade Vielfachheit (evtl. Null). Es gibt also eine
gerade Zahl von Eigenwerten ungleich 1. Da die Gesamtzahl der Eigenwerte
gleich der Dimension N ist, folgt, dass Vielfachheit von 1 kongruent zu
N modulo 2 ist.



Im Minkowskiraum gibt es keine nat"urlichen Drehungen, da es keine
nat"urliche euklidische Metrik gibt.

Die euklidische Metrik gibt es nur im Raum eines Beobachters, also
in dem 3-dimensionalen Raum senkrecht zu seinem 4-Impuls.
Dieser Raum ist f"ur verschiedene Beobachter aber verschieden
(f"ur uns allerdings ann"ahernd gleich).



Ja.



Nein. Der gesamte 5D-Raum mit Ausnahme des 3D-Eigenraums vollf"uhrt die
Drehung. So wie bei einer Drehung in 3D der gesamte 3D-Raum mit Ausnahme
der Drehachse gedreht wird.



Wie sollte die denn definiert sein?

Vorstellen kann man sich vieles, aber nur das, was matheamtisch
wohldefiniert ist, ist in diesem Zusammenhang n"utzlich.



Arnold Neumaier

Just Pronto <me@privacy.invalid> wrote in news:c0gyl20tap20$.4f4knbevnzn3
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Koordinaten: x,y,z,w
Hyperzylinder in 4D
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 (Hyperkreis)
w = lambda (freier Parameter)
Hyperkugel in 4D
x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2
Beides sind Rotationskörper und beide müssten daher jeweils eine
Symetrieachse haben .

--
Selber denken macht klug.

Vogel schrieb:


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