Nochmal Kugelphysik

Hallo,

Tut mir leid, ich steh grad auf dem Schlauch. Vielleicht könnt ihr mir
helfen, wenn ich die Frage osterlich verpacke.

Ein rundes Osterei erfährt eine tangentiale Kraft auf der Außenfläche
und beginnt deshalb sich zu drehen, z.B. wenn eine aufgewickelte Schnur
abgewickelt wird.
Gegeben ist Masse m, Radiusvektor r vom Mittelpunkt zum Berührpunkt,
Trägheit J = 2/5 (Vollkugel), antreibender Kraftvektor F.
Also das Drehmoment ist ja M = r x F. Aber welche Kraft wirkt auf die
Ei-Mitte und bewirkt eine lineare Beschleunigung? Einfach F' = F?

Gruß, Johannes

Johannes Maier schrieb:

Hallo Ingrid,

Ich möchte mich korrigieren, M = r x F gilt nur, wenn auf der einen
Seite Ft/2 (Tangentialkraft Ft) wirkt und auf der gegenüberliegenden
Seite -Ft/2, dann wäre M = r x Ft/2 + (-r) x -Ft/2 = r x Ft, und dann
ist natürlich Fl = 0 (lineare Kraft auf die Kugelmitte).
Aber wie groß Fl und M ist, wenn Ft nur auf einer Seite wirkt, verstehe
ich trotzdem nicht...

"Johannes Maier" <[Only registered users see links. ]> schrieb im Newsbeitrag news:49e1ef6b$0$31877$[Only registered users see links. ]...

Ja, falls die Auflage keine Tangentialkräfte (Reibungskräfte) überträgt.

Gruß
Manfred

Johannes Maier <[Only registered users see links. ]> wrote in news:49e1ef6b$0$31877$9b4e6d93
@newsspool3.arcor-online.net:

Man muss unterscheiden zwischen einer tangentialen Kraft und einem
Kräftekuppel(Kräftepaar)
Instabilitätsberechnungen wollen wir hier vernachlässigen.
(umwickelte Schnur in einer Ebene durch den Schwerpunkt und senkrecht zu
einer der Hauptträgheitsachsen)
Die Summe der Momente machen wir relativ zu einem beliebigen Punkt
ausserhalb des Ei's, entfernt "e" vom Eischwerpunkt.
1.) Kräftepaar
Wir ziehen an je einem Ende der Schnur mit je einer Kraft F
Summe der Momente:
F*(e+r)- F*(e-r) + F*e - F*e = M_res
M_res = 2Fxr
Summe der Kräfte:
F_res = F-F = 0 => Schwerpunkt ist Drehpunkt und unbewegt.
2.) Eine tangentiale Kraft
Wir ziehen an der Schnur mit einer Kraft F
(eine der Kräfte von vorhin fällt nun weg)
Summe der Momente:
F*(e+r)- F*e = F*r + F*e - F*e = M_res
M_res = Fxr
Summe der Kräfte:
F_res = F = m*a => Schwerpunkt ist Drehpunkt und bewegt.
Die exhaustive Behandlung ist mir zu umfangreich um sie hier darzulegen.

--
Selber denken macht klug.

Vogel schrieb:


Okay, vielen Dank für die Antworten. Soweit bin ich mittlerweile auch
gekommen. Ich hatte nur Probleme zu akzeptieren, dass die Kraft 2x
berücksichtigt wird.
Tatsächlich verlängert sich aber auch der Weg den der Berührpunkt
zurücklegt, und mit W = F * s ist die verrichtete Arbeit höher.

Grüße, Johannes

Johannes Maier schrieb:


1. Kugel im schwerelosen Raum:

Bewegungsgleichung:
M - (Js + m*r²)*d(alpha)²/dt² = 0
=> d(alpha)²/dt² = M/(Js + m*r²) ; Winkelbeschleunigung
=> a = M/(Js + m*r²)*r ; Beschleunigung des Schwerpunkts
=> Fs = m*a = M/(Js + m*r²)*r*m ; Wirksame Kraft im Schwerpunkt

2. Kugel im Schwerefeld:

M - (Js+ m*r²)*d(alpha)²/dt² - m*g*r = 0
=> d(alpha)²/dt² = (M - m*g*r)/(Js + m*r²) ; Winkelbeschleunigung
=> a = (M - m*g*r)/(Js + m*r²)*r ; Beschleunigung des Schwerpunkts
=> Fs = (M - m*g*r)/(Js + m*r²)*r*m ; Wirksame Kraft im Schwerpunkt

MFG Stefan

Johannes Maier <[Only registered users see links. ]> wrote in news:49e35718$0$30226
$[Only registered users see links. ]:

Klar, da ja beide Kräfte aussermittig wirken.
Das wirkende Moment entsteht zwischen der Trägheitskraft des
Schwerpunktes und der Kraft am Umfang.
Machst du es so, dass das eine Schnurende direkt auf die Drehachse wirkt,
so bleib letztendlich auch nur die Wirkung einer Kraft am Umfang übrig.

--
Selber denken macht klug.

"Stefan Sprungk" <[Only registered users see links. ]> schrieb im Newsbeitrag news:49e43242$0$30232$[Only registered users see links. ]...

Hallo Stefan,

(hab Deinen Beitrag erst heute gesehen)
Ich möchte nur die Zeile mit a herausgreifen, wo Du wohl davon ausgehst,
dass die Kugel aufliegt und somit ins Rollen kommt (nicht rutscht).
Da habe ich errechnet:

a=2F/(m + J/r²)

Das ergibt für die zwei Extremfälle
1. alle Masse im Mittelpunkt:
a = 2F/m
2. alle Masse außen, ein dünnwandiger Ring mit Radius r:
a=F/m

Was meinst Du dazu?

Gruß
Manfred

Manfred Ullrich schrieb:

Hallo Manfred,

leider kann ich nicht erkennen, wie Deine Formel zustande gekommen ist.
Von den Größen ist sie richtig. Die Bedeutung selber erschließt sich mir
nicht.

Ich kann nur erläutern, wie ich vorgegangen bin.

1. Bei Rotationen rechnet man zunächst mit Drehmomenten, statt mit
Kräften. Statt Massen werden Massenträgheitsmomente verwendet.

2. Bei dynamischen Vorgängen halten sich das äußere Drehmoment und das
durch die Drehimpulsänderung (Massenträgheit) verursachte Drehmoment im
Gleichgewicht. Daher kann man den Ansatz von D' Alembert verwenden.

M - MT = 0

M=rxF; das Moment durch die äussere Kraft M=r*F falls r senkrecht auf F

MT = J*d(alpha)²/dt²; Das Gegenmoment aufgrund der Massenträgheit

J=Js + m*r²; Massenträägheitsmoment am Abrollpunkt (Satz von Steiner)

M - (Js + m*r²)*d(alpha)²/dt²=0

3. Die Bewegungsgleichung ob lässt sich sofort umstellen auf die
Winkelbeschleunigung

d(alpha)²/dt² = M/(Js + m*r²)

4. Die Beschleunigung a des Schwerpunkts ergibt sich aus der
Winkelbeschleunigung

===== Ergebnisse und Diskussion =====
a = d(alpha)²/dt²*r = M*r/(Js + m*r²) = F*r²/(Js + m*r²)

Für den Fall r->0 (Punktmasse) -> Js -> 0

a = F/m

Für den Fall dünnwandiger Ring -> Js=m*r²

a = F/(2*m)

MFG Stefan

"Stefan Sprungk" <[Only registered users see links. ]> schrieb im Newsbeitrag news:49ed80a0$0$32671$[Only registered users see links. ]...
Hallo Stefan,
Ich habe die Formeln etwas anders hergeleitet (wie, vielleicht später), aber komme
zu einem um Faktor 2 anderen Ergebnis. Vielleicht schaust Du Dir Deine Ableitung
nochmal an, denn z.B. für den Fall Punktmasse (J=0), aber ansonsten r ungleich Null
ergibt Deine Formel

a = F/m

Aber für diesen Fall ergibt sich doch, dass die Kraft F an der Masse verdoppelt
wirkt (Hebelgesetz und kein Durchrutschen auf der Auflage). Also muss a sein:

a = 2F/m,

wie meine Formel für diesen Fall sagt, die man auch etwas anders und somit
anschaulicher so schreiben kann:

a = 2F/[m(1+J/mr²)]

Ergibt für den Fall dünnwandiger Ring -> J=m*r²

a= F/m

Was meinst Du?

Gruß
Manfred