Wellengleichung auf bewegten Beobachter umrechnen

Hallo,

ich überleg mir, wie die Wellengleichung für einen gegenüber dem Medium
bewegten Beobachter aussieht.

Nehmen wir einfachheitshalber nur eine 1 Dimension, dann sieht die
Wellengleichung in einem Gas so aus:

n_tt - (c_s)^2 n_xx = 0

n(x,t) ist die Teilchendichte,
n_tt die zweite Zeitableitung,
n_xx die zweite Ortsableitung in x-Richtung
c_s ist die Schallgeschwindigkeit

Geht man von v/c << 1 aus, hat ein mit v bewegter Beobachter die Koordinaten
(Galilei-Transformation):

x' = x - v t
t' = t

Definiert man m(x',t) := n(x' + v t,t), müßte man doch eine
Differentialgleichung für die Dichteverteilung m(x',t) ausrechnen können,
wie sie der bewegte Beobachter sieht.

Sind die folgenden Beziehungen so richtig?

m_x' = n_x
m_t = v n_x + n_t

Grüße
Reiner

Reiner Reiff <[Only registered users see links. ]> wrote in
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Du meinst wohl, wie die Wellengleichung im Bezugsystem eines, gegenüber dem
Medium, bewegten Beobachters aussieht?
Nun die Lösung der Wellengleichung ist von der Form
A(x,t) = f(x+c_s*t) + g(x-c_s*t)
wobei c_s die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist.
mit dem Ansatz:
A(x,t) = A0*e^i*(kx+wt)
erhält man:
w^2 = k^2*c_s^2
w = k*c_s
(das +/- habe ich vernachlässigt das es lediglich die Richtung angibt)
Wie man sieht ist die Wellengleichung, genauso wie im Bezugsystem eines,
gegenüber dem Medium, ruhenden Beobachter, insofern der bewegte Beobachter
sich linear gleichförmig bewegt.
Lediglich bei der Lösung ergibt das einen Unterschied.
w = k*(c_s-v)
Bist du sicher?
Da wir von einer Wellengleichung reden, ist es die Amplitude die da
schwingt. Was diese darstellt ist erst einmal egal aus mathematischer
Sicht.
Und, was schlussfolgerst du daraus?
Deine Transformationsgleichungen sind nicht komplett.
Wie man sieht nimmst du eine lineare uniforme Relativbewegung an.
Also versuch mer's mal.
In einem euklidischen Raum und bei linearer gleichförmiger Relativbewegung
haben wir im Medium die Ausbreitungskoordinate:
x1 = c_s*t1
Im bewegten Koordinatensystem des Beobachters haben wir:
x2 = x1 -v*t2
also
x2 = (c_s-v)*t2
mit: t=t1=t2
Daraus sieht man schon, dass die Wellengleichung als mathematische Form
sich nicht ändern wird.
Aber man kann es ja auch nachrechnen.
Wir haben die Tensorkomponente:
dx2/dx1 = (c_s-v)/c_s
die anderen Komponenten interesieren erst mal nicht,
da wir keine Kreuzableitungen haben.
Daraus ergibt sich:
d2A/dx1^2 = d/dx2(dA/dx2*dx2/dx1)*dx2/dx1 = d2A/dx2^2 *(dx2/dx1)^2
d2A/dx1^2 = d2A/dx2^2 * ((c_s-v)/c_s)^2
Bei der Zeitkomponente ist ja klar:
d2A/dt1^2 = d2A/dt2^2
Also bleibt die mathematische Form unverändert.
Bei dir:
n_tt - (c_s-v)^2 n_xx = 0
Wieso sollte sich die Dichte_verteilung_ ändern, solange sich der
Beobachter linear uniform bewegt?
Siehe ÄP der SRT, oder das Gallileische ÄP.
Bei einer relativen beschleunigten Bewegung wird es ein bischen
komplizierter.
Ist mir nicht klar was du da meinst.
Deine Indexverwendung ist inkonsistent.
Ich sehe nirgends ein m_x bei dir.

--
Selber denken macht klug.

Reiner Reiff schrieb:

Ja. Die Jacobimatrix für


ist

d/dx = dx'/dx d/dx' + dt'/dx d/dt' = d/dx'
d/dt = dx'/dt d/dx' + dt'/dt d/dt' = v d/dx' + d/dt'

Und selbstverständlich ist das so gebaut, dass jede transformierte
skalare Funktion

f(t,x) -> f(t',x'- v t')

die von f, t, x auf t', x', d/dt', d/dx' transformierten
Differentialgleichungen in erfüllt.

--

Roland Franzius

Reiner Reiff <[Only registered users see links. ]> wrote in news:4996fa83$0$16644
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Dopplereffekt bekannt?
Wie kommst du darauf?
Hast du das mal nachgeprüft?
Obiges ist die Linearkombination (fast) aller Einzellösungen.
Also ist es auch eine Lösung.
Die Lösungen der Wellen-Differentialgleichung sind von der Form:
f(x + (+/- k)*t) = f(u)
und natürlich auch alle Linearkombinationen der Lösungen.
Kann man nachprüfen
d"/du^2 = 1/k^2 * d"/dt^2 = d"/dx^2
1/k^2 * d"/dt^2 - d"/dx^2 = 0
Bei der Lösung einer Differentialgleichung kommt es nur auf die Form an,
nicht auf konkrete Werte von Parametern.
n(x,t) = f(x + c_s t) + g(x - c_s t)
ist bereits eine Linearkombination der Einzellösungen f und g.
Die allgemeine Lösung lautet also für den bewegten Beobachter
f(x' + (c_s +/- v) t) + g(x' - (c_s +/- v) t)
Von der Form her indentisch mit:
f(x + c_s t) + g(x - c_s t)
Also lösen beide die gleiche Differentialgleichung.
Die Bewegungsgleichung ist also auch im Bezugsystem des Beobachters eine
Wellengleichung. Also sieht der bewegte Beobachter auch eine Welle.
Allerdings ist die konkrete Lösung, die Welle, nicht die gleiche.
Sie ist um einen skalaren Faktor (c_s-v)/c_s Frequenzverschoben,
wie ich bereits in meinem vorigen Beitrag zeigte.
Also eine Dopplerverschiebung.

--
Selber denken macht klug.

Vogel schrieb:


Ich definiere mal der Einfachheit wegen die neue Funktion

m(x',t) := n(x' + v t,t) = f(x' + (c_s + v) t) + g(x' - (c_s - v) t)

m(x',t) ist also die Dichteverteilung, wie der bewegte Beobachter sie sieht.
f(x) und g(x) sind 2-fach stetig differenzierbare, aber sonst beliebige
Funktionen.

Dann gilt unter Weglassung der Funktionsargumente:

m_x' = f_x + g_x
m_x'x' = f_xx + g_xx
m_t = f_x (c_s + v) + g_x (v - c_s)
m_tt = f_xx (c_s + v)^2 + g_xx (v - c_s)^2

Die Wellengleichung mit m statt n und x' statt x ist:

m_tt - (c_s)^2 m_x'x' = 0

Setzt man für m_tt und m_x'x' obige Werte ein, ergibt sich:

f_xx (c_s + v)^2 + g_xx (v - c_s)^2 - (c_s)^2 (f_xx + g_xx) = 0

Ausmultiplizieren ergibt:

2 c_s v f_xx + v^2 f_xx - 2 c_s v g_xx + v^2 g_xx = 0

Das ist nur erfüllt bei v = 0.

Grüße
Reiner

Reiner Reiff <[Only registered users see links. ]> wrote in
news:49983b8c$0$28802$[Only registered users see links. ]:

Noi, du hast bereits zwei Einzellösung überlagert.
Du hast also da oben nicht mehr nur eine Welle,
sondern zwei überlagerte Wellen f und g.
Das auch noch in verschiedene Bewegungsrichtungen,
einmal +v und einmal -v.
Als Ergebnis erhälts du eine Gleichung die die Interferenz
zweier Lösungen der Wellengleichung beschreibt.
Das geht aber so nicht, da die beiden Wellen sich nie treffen.
Es sind unterschiedliche Lösungen die in verschiedene Richtungen von der
Quelle losgehen.
Also in deiner Notation muss es lauten:
m_x'x' = f_xx + g_xx
m_tt = f_xx (c_s + v)^2 + g_xx (c_s + v)^2
das ergibt:
m_tt - (c_s + v)^2 m_x'x' = 0
also eine echte Wellengleichung, mit der Richtigen Lösung für die
Frequenz:
w = k*(c_s + v)
Deine Denkweise ist falsch. Du musst in anderen Kategorien Denken.
Wenn es um Wellen geht musst du mit Wellengleichungen denken,
nicht mit den Einzellösungen. Das ist effektiver und einfacher.
Ich habe doch ein Beispiel der Ableitungen gemacht:
d"/du^2 = 1/k^2 * d"/dt^2 = d"/dx^2
1/k^2 * d"/dt^2 - d"/dx^2 = 0
Das sind operationale Gleichungen in die du jeweils f und g _separat_
einsetzen kannst, um eine Wellengleichung zu erhalten.
Obige operationale Gleichungen sind sowohl für
f(x)=f(c_s*t)
als auch für linear transformierte Argumente gültig
f(x+vt)= f(u)
Nein. Du musst dich für die richtige Geschwindigekeit entscheiden.
m_tt - (c_s +/-v )^2 m_x'x' = 0
Nein, da hast du dann bereits zwei Lösungen überlagert
und da auch noch zwei Lösungen die nicht im gleichen Lösungsraum
existieren
Noi, selbst das stimmt mathematisch nicht,
ist aber bereits schon physikalisch falsch.
v=0 ist nicht "nur" die einzige Lösung. Sie ist nur die triviale Lösung.
Zieh mal in deiner obigen Gleichung v als Faktor heraus, dann siehst du
auch die andere Lösung für:
2 c_s f_xx + v f_xx - 2 c_s g_xx + v g_xx = 0
Nur so nebenbei, ein bischen Mathematik.
Spielt aber keine Rolle, da physikalisch falsch.

--
Selber denken macht klug.

* Reiner Reiff schreibt:







Lösungen der Wellengleichung gehen durch Galilei-Transformationen nicht
in Lösungen über. Setzt man einfachheitshalber c_s = 1, so sind die
Lorentztransformationen, die Lösungen von

n_tt - n_xx = 0

in andere Lösungen transformieren, Streckungen und Stauchungen von

x' + t' = (x + t) * k

x' - t' = (x - t) / k

Denn offensichtlich löst

n'(t,x) = g( (t+x) / k ) + f( (t-x) * k )

ebenso die Wellengleichung wie

n(t,x) = g(t+x) + f(t-x) .

Man sieht leicht, daß die Transformationsgruppe, die Lösungen auf
Lösungen abbildet, größer als die Lorentzgruppe ist: der Faktor,
um den (x-t) gestaucht wird, muß nicht invers zum Streckungsfaktor
von (x+t) sein, denn die Lösungen der Wellengleichung gehen auch
durch Streckung aller Koordinaten in sich über

x' = x * k , t' = x * k .

--
Aberglaube bringt Unglück

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Reiner Reiff wrote:

Die *Schall*geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich
Schallwellen relativ *wozu* ausbreiten? Doch nicht zu Erzeuger oder
Empfänger, woll?



Ja klar, kann man.



Ja, Du hast richtig gerechnet. Und ja, die neue DGL enthält unschöne
Mischterme, die aber ja auch nötig ist, da der sich gegenüber dem
schalltragenden Medium bewegende Beobachter die Symmetrie bricht.

Guckt man sich die Wellengleichung der EM-Wellen an, sieht es, allein
mit der Galilei-Transformation bewaffnet, ja auch so aus, als würde die
ein Bezugsystem des ruhenden Mediums auszeichnen. Erst die
Lorentz-Transformation hilft einem da raus.

Ciao
Lothar

Norbert Dragon schrieb:


Danke für die Antwort, aber wenn ich dich richtig verstanden habe, schreibst
du über EM-Wellen im Vakuum, die sich mit c fortpflanzen.

Ich hatte jedoch an Schallwellen in einem Gas und einen Beobachter, der sich
mit v gegenüber dem Gas bewegt, gedacht. Wenn ich da die
Lorentztransformierte der Lösung der Wellengleichung bilde und in die
Wellengleichung einsetze, bekomme ich genausowenig eine Lösung wie mit der
Galilei-Transformation.

Gruß
Reiner

Lothar Brendel schrieb:


Ja, das hab ich auch herausbekommen:

m_tt - 2 v m_tx' - (c_s^2 - v^2) m_x'x' = 0

Ohne Gewähr, sieht aber auf den ersten Blick vernünftig aus, da mit v = 0
die ursprüngliche Wellengleichung herauskommt.

Grüße
Reiner