Wellengleichung auf bewegten Beobachter umrechnen

* Reiner Reiff schreibt:




Der Gleichung ist egal, woran Du denkst. Der Gleichung ist auch die
Wellengeschwindigkeit c herzlich egal: Verwende die Koordinate

t' = c t

dann heißt die Wellengleichung einfach

((d_t')^2 - (d_x)^2) n = 0 .


Die Transformationen, die ich Dir angegeben habe, sind
Lorentztransformationen, allerdings in ihrer einfachsten Gestalt:


(x'+t') = (x+t)*k , (x'-t') = (x+t)/k

heißt aufgelöst

t' = 1/2(k + 1/k) t + 1/2(k - 1/k) x

x' = 1/2(k - 1/k) t + 1/2(k + 1/k) x

Setzt man den Zusaqmmenhang von k und der Geschwindigkeit v des
bewegten Beobachters ein,

k(v) = Wurzel( 1+v / 1-v) = (1 + v) /(Wurzel(1-v^2) = 1 / k(-v)

Gleichung 2.11

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dann hat die Transformation die bekanntere Form

t' = (t + v x) / Wurzel(1-v^2)

x' = (x + v t) / Wurzel(1-v^2) .

In der von mir angegebenen Form ist einfach zu sehen, daß alle
Lösungen der Wellengleichung in zwei Dimensionen durch
Lorentztransformationen wieder auf Lösungen abgebildet werden.

--
Aberglaube bringt Unglück

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Reiner Reiff wrote:


Richtig. Das Gas zeichnet ein Bezugssystem aus, nämlich das, wo es
ruht, zumindest lokal. Man kann die Gleichungen kovariant schreiben,
indem man den Vierergeschwindigkeitsvektor u des Gases einführt und
die Gleichung zunächst im Ruhsystem des Gases, wo u=(1,0,0,0) ist,
kovariant hinschreibt. Dann kann man in aller Gemütlichkeit
Lorentz-boosten.

Im Alltagsleben sollte allerdings auch die Galileitrafo mit
hinreichender Genauigkeit anwendbar sein ;-).

--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universität Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
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Hendrik van Hees schrieb:

Solche Antworten sollte man, zumindest in Prüfungen vermeiden, wenn man
sich nicht das Wohlwollen verscherzen will.

Wie sich theoretische Physiker im Bereich Akustik auf den ihnen
bekannten Bereich der RT beziehen können, bleibt ihr Geheimnis.
Vermutlich finden sie das irgendwie witzig, Leute in den Wald zu schicken.

--

Roland Franzius

Roland Franzius wrote:



<Pöbelmodus>
Wenn man zu enstirnig ist, über seinen eigenen Horizont
hinauszublicken, sollte man nicht so laut schießen. Relativistische
Hydrodynamik (insbesondere auch Schall- und Schockwellen (Machkegel))
hat durchaus ihre Anwendungen (z.B. in der relativistischen
Schwerionenphysik und der Astrophysik), freilich nicht im Bereich
gewöhnlicher Schallwellen im Alltagsleben.
</Pöbelmodus>

--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
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Hendrik van Hees schrieb:


Dann müsste man nun, um über der weithin bekannten Horizont vom Radius 0
hinauszuschauen, von relativistischer Hydrodynamik etwas verstehen. Da
reicht die Lorentztransformation der Wellengleichung nicht ganz.


--

Roland Franzius

Norbert Dragon schrieb:


Ok, den mathematischen Teil hab ich jetzt verstanden. Bei der physikalischen
Interpretation hab ich aber noch Schwierigkeiten. Es spielt offenbar jetzt
die Schallgeschwindigkeit c_s die Rolle der Grenzgeschwindigkeit. Wenn ich
mich mit v = c_s = 1 relativ zum Medium bewege, was ja durchaus möglich
ist, kann man aber die Lorentztrafo nicht mehr anwenden.

Grüße
Reiner

Reiner Reiff wrote:


Ich verstehe auch nicht, was Norbert eigentlich meint, denn freilich
ist die Grenzgeschwindigkeit immer c und Schallwellen sind keine
elektromagnetischen Wellen.

Wie schon oft betont, reicht für gewöhnlichen Schall und für
Geschwindigkeiten im täglichen Leben die Galileitransformation
vollends aus. Dann ist die Dichte des Gases rho(t,x) ein Skalarfeld
und transformiert sich folglich gemäß

rho'(t',x')=rho(t,x),

wobei (t,x) das Referenzsystem für einen Beobachter in Ruhe relativ
zum Medium und (t',x') ein relativ dazu in beliebiger Richtung mit
Geschwindigkeit v=const bewegtes sei. Hier und im folgenden sind x
und x' Vektoren! Dann gilt

t'=t, x'=x-v t <=> t=t', x=x'+v t'

Folglich ist also

rho'(t',x')=rho(t',x'+v t')

Betrachten wir also eine ebene Welle, die sich mit Wellenzahl k
ausbreitet, so ist

rho(t,x)=rho0 exp(-om t+k x)

und also

rho'(t',x')=rho0 exp[-om t'+k (x'+v t')]
=rho0 exp[-(om-k v) t' + k x'],

Die Ausbreitungsrichtung bleibt also erhalten (das wäre relativistisch
nicht so!) und die Frequenz ändert sich gemäß dem Dopplereffekt zu

om'=om-k v.

Man kann sich freilich noch kompliziertere Fälle ausdenken, wo die
Signalquelle sich auch noch bewegt, aber diskutieren wir erst mal
diesen einfachsten Fall.

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Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
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* Reiner Reiff schreibt:




Insbesondere sind die Lorentztransformierten Zeiten und Längen
auch nicht die Zeiten und Längen, die ein bewegter Beobachter mißt.

Die Lorentztransformation ist bei Schall in einem Medium nur noch
eine Gruppe von Transformationen, die Schall auf Schall abbildet,
nicht aber Beobachter auf andere Beobachter, bei denen man Ruhe
nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden kann.

--
Aberglaube bringt Unglück

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* Hendrik van Hees schreibt:






Statt auszurechnen, daß die Wellengleichung nicht unter
Galilei-Transformationen invariant ist, kann man die
Symmetriegruppe der Wellengleichung angeben, SO(2,4), und
feststellen, daß sie die Galilei-Gruppe nicht enthält.

--
Aberglaube bringt Unglück

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Norbert Dragon wrote:


Warum sollte sie denn auch Galilei-invariant sein? Das hat der OP doch
gar nicht gefragt. Er wollte doch wohl wissen, wie sich die Gleichung
unter Galileitrafos transformiert. Ich antworte gleich nochmal auf
das Ursprungsposting.

BTW: Wieso ist die Symmetriegruppe SO(2,4) und nicht O(1,3) mal eine
Dilatationssymmetrie oder sowas sein?

--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
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