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Vorzeichen der Legendre Transformation

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  #1  
Old 03-17-2008, 05:12 PM
Tobias Baumann
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Default Vorzeichen der Legendre Transformation



Guten Tag

Ich lerne gerade ein wenig theoretische Mechanik für meine
Vordiplomsprüfung und stoß hier auf etwas das sehr wahrscheinlich nicht
gefragt wird, aber sicher nenn guten eindruck macht

Es geht um die Legendre Transformation. Ich nehme nun im folgenden das
ganze so wies bei Wikipedia definiert ist:

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Die Legendre Transformierte von f kann somit das Vorzeichen + oder -
haben. Ich zitiere Wikipdia:

"Die Funktion g(u) wird als Legendre-Transformierte von f bezeichnet.
Das Vorzeichen von g ist für die Definition unwichtig, wir können also g
= ux − f oder g = f − ux schreiben. Welches Vorzeichen man wählen
sollte, hängt von der physikalischen Bedeutung von g ab."

Jetzt meine Frage: Warum wählt man, wenn man die Hamilton Funktion als
Legendre Transformierte der Lagrange Funktion definiert, + als
Vorzeichen? Hat das eine physikalische Bedeutung oder macht man dies um
später bei gewissen Anwendungen H = T + U zu erhalten?

Vielen Dank für die Hilfe.

Gruß Tobias
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  #2  
Old 03-17-2008, 06:03 PM
Arnold Neumaier
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Default Vorzeichen der Legendre Transformation

Tobias Baumann schrieb:

Weil man m"ochte, dass in den wichtigen F"allen sowohl die Wirkung als
auch die Energie nach unden beschr"ankt ist.


Arnold Neumaier
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  #3  
Old 03-18-2008, 01:58 AM
Hendrik van Hees
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Default Vorzeichen der Legendre Transformation

Tobias Baumann wrote:



Ich wrde sagen, letzteres. Man will gerne H als Erzeugende Funktion fr die
Zeitentwicklung haben, und da bietet sich das in der Mechanik bliche
Vorzeichen an. Vgl.

[Only registered users see links. ]

und ff nodes.

--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
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  #4  
Old 03-18-2008, 06:43 AM
Roland Franzius
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Default Vorzeichen der Legendre Transformation

Hendrik van Hees schrieb:

H erzeugt Zeittranslationen in beiden Zeitrichtungen. Festgelegt ist
also immer nur das Produktvorzeichen in der kanonischen Transformation
fr die kanonische Taylorentwicklung U_t = e (+- |t [H,#]| )&.

Zur Vermeidung jeglicher Doppeldeutigkeiten hat man sich in frher
Vorzeit darauf geeinigt, t>0 als Zukunft und H>0 fr freie Teilchen als
Erzeugende der Transformation fr die Daten in die Zukunft, t<0 und H>0
fr die in die Vergangenheit zu verstehen.

Die Sache ist dann in Relativittstheorie und Quantentheorie ein wenig
aus dem Ruder gelaufen.

Zum Anschluss an die klassische Physik htte man gern H = p^2/2m >0 und
sollte dann mit Metrik diag(-1,1,1,1) arbeiten, aber dann wre das
formale Lorentzmassenquadrat des Viererimpulses
-p_0^2 + p^2 =-(mc)^2 < 0
negativ und die relativistische Energie htte die Form sqrt().

Da die Vorzeichen, genauer gesagt die Wahl des zugrunde liegenden
algebraischen Zahlenkrpers, von L, H, m und t keine Rolle im
kanonischen mathematischen Formalismus spielen und Physiker die
zugrundliegenden Theorien von Faserbndeln und quivalenzklassen von
Schnitten darin nirgends lernt, muss Physiker die Wahl des
Vorzeichenkonglomerats im Einzelfall davon abhngig machen, welche
Lsungsmethoden ihm zur Verfgung stehen, um einen eindeutig bestimmten
Reprsentanten der Lsungsklasse zu bestimmen. Das nennt man dann eine
Eichfixierung.

--

Roland Franzius
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  #5  
Old 03-18-2008, 07:15 AM
Roland Franzius
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Default Vorzeichen der Legendre Transformation

Hendrik van Hees schrieb:

H erzeugt Zeittranslationen in beiden Zeitrichtungen. Festgelegt ist
also immer nur das Produktvorzeichen in der kanonischen Transformation
fr die kanonische Taylorentwicklung U_t = e^(+- |t [H,#]| )&.

Zur Vermeidung jeglicher Doppeldeutigkeiten hat man sich in frher
Vorzeit darauf geeinigt, t>0 als Zukunft und H>0 fr freie Teilchen als
Erzeugende der Transformation fr die Daten in die Zukunft, t<0 und H>0
fr die in die Vergangenheit zu verstehen.

Die Sache ist dann in Relativittstheorie und Quantentheorie ein wenig
aus dem Ruder gelaufen.

Zum Anschluss an die klassische Physik htte man gern H = p^2/2m >0 und
sollte dann mit Metrik diag(-1,1,1,1) arbeiten, aber dann wre das
formale Lorentzmassenquadrat des Viererimpulses
-p_0^2 + p^2 =-(mc)2 < 0
negativ.

Da die Vorzeichen, genauer gesagt die Wahl des zugrunde liegenden
algebraischen Zahlenkrpers, von L, H, m und t keine Rolle im
kanonischen mathematischen Formalismus spielen und Physiker die
zugrundliegenden Theorien von Faserbndeln und quivalenzklassen von
Schnitten darin nirgends lernt, muss Physiker die Wahl des
Vorzeichenkonglomerats im Einzelfall davon abhngig machen, welche
Lsungsmethoden ihm zur Verfgung stehen, um einen eindeutig bestimmten
Reprsentanten der Lsungsklasse zu bestimmen. Das nennt man dann eine
Eichfixierung.

--

Roland Franzius
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  #6  
Old 03-18-2008, 04:21 PM
Norbert Dragon
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* Arnold Neumaier schreibt:


Im wichtigen Fall des harmonischen Oszillators ist die Wirkung

W = Integral dt (1/2 m v^2 - 1/2 k x^2)

nicht nach unten beschrnkt.

--
Aberglaube bringt Unglck

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  #7  
Old 03-18-2008, 10:10 PM
Andreas Most
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Roland Franzius wrote:


Mit Letzterem hast Du leider recht


Mathematiker interessieren sich auch weniger fr die Lsungen als
vielmehr fr den Beweis der Existenz derselben... ;-)

SCNR,
Andreas.
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  #8  
Old 03-20-2008, 04:29 AM
Hendrik van Hees
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Andreas Most wrote:


Was ntzen schon Faserbndel & Co. wenn sie einfache Sachverhalte wie die
Gerichtetheit der Zeit (Kausalitt) und die Existenz eines stabilen
Grundzustandes so verkomplizieren, da selbst die Mathematiker nicht mehr
wissen, was sie eigentlich denken sollen. Davon, da die Vorzeichenwahl der
Minkowskischen Fundamentalform dabei vllig irrelevant ist, solange man die
Vorzeichen richtig setzt, ganz zu schweigen (die Ostkstenmetrik hat nur
einen winzigen Vorteil, wenn's zu Wickrotationen kommt; ansonsten ist sie
eher nervig ;-)).

--
Hendrik van Hees Texas A&M University
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  #9  
Old 04-23-2008, 07:51 AM
Arnold Neumaier
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Norbert Dragon schrieb:

Der f"ur die Mechanik relevante Fall ist der, wo v(t)= xdot(t)
und die Werte von x(t) f"ur den Anfangs- und Endwert von t
vorgegeben sind. In diesem Fall ist W nach unten beschr"ankt.


Arnold Neumaier


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  #10  
Old 04-28-2008, 12:51 PM
Norbert Dragon
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* Arnold Neumaier schreibt:



Was hltst Du vom Gegenbeispiel: t-Bereich zwischen Null und Eins,
k/m grer 12, x(0)=x(1)=0?

x(t) = 2t fr t < 1/2
1-2t fr t > 1/2 .

Die Wirkung 1/2 m (4 - k/3m) dieser Bahn ist negativ. Insbesondere
unterschreitet die Wirkung der Bahn A*x(t) jede untere Schranke.

P.S.: Wann findest Du Zeit, Deine Behauptungen ber
Helizittszustnde zu korrigieren?

Theorem: Der Raum der Wellenfunktionen psi: S^2 |--> C^d,
auf denen die Drehimpulsoperatoren L differenzierbar die
Transformationen

[exp(-i alpha L*n) psi](x) = d(alpha, n) * psi(D(-alpha,n)(x))

bewirken, enthlt keine Lsung der Helizittsbedingung

(x * L) psi(x) = h psi(x), falls 2 h eine natrliche Zahl ist.

Dabei bezeichnet alpha den Drehwinkel, n die Drehachse, x einen Punkt
auf S^2, L die Drehimpulsoperatoren, d(alpha, n) eine d-dimensionale
Darstellung von SU(2) und D(alpha, n) die zugehrige Drehung.

Denn die Drehgruppe wirkt auf obige Art nur auf orbitanalytische
Funktionen. Als orbitanalytisch mchte ich dabei solche Funktionen
bezeichnen, deren Wert und Ableitungen an einem Punkt des Orbits die
Funktion berall im Orbit (hier S^2) festlegt (gibt es dafr eine
besser etablierte Bezeichnung?)

Zwar ist die Helizittsbedingung eine analytische Bedingung fr
analytische Funktionen, sie hat aber keine Lsung. Vielmehr definiert
sie das Verhalten von Funktionen von S^3 |--> C^d lngs Fasern des
Hopf-Bndels S^1 `-> S^3 --> S^2.

--
Aberglaube bringt Unglck

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Tags
der , legendre , transformation , vorzeichen


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