Simulation des Aufstiegs eines Stratosphärenballons und eines Fallschirmsprungs aus 30km bzw. 40km Höhe

Im Rahmen einer Studienarbeit möchte ich den Aufstieg von Joseph W.
Kittinger [1] in einem Stratosphärenballon und seinen Ausstieg aus
30km Höhe mit Matlab & Simulink simulieren (einige mögen sich an mein
gescheitertes ursprüngliches Vorhaben den Windenstart eines
Segelflugzeugs zu simulieren erinnern). Leider habe ich beim der
Simulation des Aufstiegs des Stratosphärenballons ein Problem.

Mit dem Simulationsmodell des Excelsior III Projekts (Kittingers
Weltrekordsprung) möchte ich außerdem den von Michel Fournier [2] für
August 2008 geplanten Aufsteig und Sprung aus 40km Höhe vorab
simulieren.

Die Simulation gliedert sich in zwei Teile:
- die Simulation des Aufstiegs eines Stratosphärenballons (Problem!)
- die Simulation des Fallschirmsprungs (kein Problem?)

Grundlage meines Simulationsmodells des Fallschirmsprungs von
Kittinger / Fournier ist das Kapitel 6 des Vorlesungsskripts von
Herrn Rainer Müller: "Reale Bewegungen modellieren - Ein Sturz aus
30000 Meter Höhe" [3].
In den Untersuchungen des Fallschirmsprungs von Kittinger von Herrn
Müller verwendet dieser allerdings für die finalen Berechnungen eine
Konstante für die Berücksichtigung des Luftwiderstands, die er anhand
weniger Daten des Sprungs von Kittinger ermittelt:
k = (c_W * rho * A) / (2 * m) = 0,0085

In meinem Modell möchte ich jedoch lieber die Angaben aus Kittingers
Bericht [1] über dessen eigenes Gewicht, das Gewicht seiner Ausrüstung
und den Durchmesser seiner beiden Fallschirme verwenden, um die
Veränderung der Luftdichte rho in Abhängigkeit der Höhe mit zu
berücksichtigen und nicht als konstant anzunehmen. Lediglich den
Widerstandsbeiwert der Fallschirme habe ich anhand von Informationen
im Internet und dennen in [3] auf 0,7 geschätzt.

Das Höhe/Zeit Ergebnis ist auch relativ gut. Erst gegen Ende des
Sprungs gibt es größere Abweichungen und mein Springer landet zu spät
am Boden:
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Wie auch bei den Betrachtungen von Herrn Müller erreicht mein Springer
die von Kittinger angegebene maximale Geschwindigkeit nicht:
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Ein Problem habe ich lediglich mit meinem Modell des
Stratosphärenballons: er steigt zu schnell auf. Dies habe ich anhand
der Daten von Fournier [2] überprüft (0m - 40.000m in 3 Stunden, bei
mir in 27 Minuten).

Ich habe für das Modell des Ballons folgende Annahmen getroffen:
- Gewichtskraft F_G = m * g
- Auftriebskraft F_A = rho * g * V
- Strömungswiderstandskraft F_W = c_W * 1/2*rho*v^2 * A

mit

- m: Masse des Ballons inkl. Gasfüllung, Gondel und Springer
- g: Gravitationsbeschleunigung (ggf. höhenabhängig)
- rho: Luftdichte (höhenabhängig)
- V: Volumen des Ballons (dynamisch)
- c_W: Widerstandsbeiwert (hier: 0,45 für Kugel)
- v: Geschwindigkeit (dynamisch)
- A: Querschnittsfläche des Ballons (hier: Kugelquerschnitt; abhängig
von V)

Die Umweltdaten (Temperatur T, Luftdruck p, Luftdichte rho) berechne
ich anhand der U.S. Standard Atmosphere, 1976 [4].

Ich habe den Ballon als geschlossenen Folienballon mit nicht dehnbarer
Hülle angenommen. D.h. er hat am Boden (Z = 0m) ein Volumen von V_0 =
4.000m³, in seiner maximalen Höhe (Z = ~40km) ein Volumen von
600.000m³ und kann sich nicht weiter ausdehnen.
Beim Start hat das Gas im Ballon die Temperatur T_0 und den Druck p_0
der Umgebung in der Starthöhe.
Während des Aufstiegs berechne ich das Ballonvolumen V unter der
Annahme, dass der Druck und die Temperatur im Ballon stets gleich den
Umgebungsbedingungen sind und dass p * V / T = const. gilt:
V = (p_0 * V_0 * T) / (T_0 * p)

Mit den Daten von Fournier [2]:
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- m = 2.000kg (Ballon 1.000kg + Ladung 1.000kg)
- V_0 = 4.000m³
- V_max = 600.000m³
- Z_0 = 0m
- Z_max = 41.000m (hier redet er von 41km anstelle von 40km)
- Aufstiegszeit von 0m bis 41km: 3 Stunden

sieht das Höhe/Zeit Diagramm folgendermaßen aus:
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Die von Fournier angestrebte maximale Höhe von 41km erreiche sich sehr
gut, allerdings bereits nach ~1600 Sekunden (27 Minuten) anstelle von
3 Stunden!

Ich gehe stark davon aus, dass meine Ströumungswiderstandskraft zu
gering ist (c_W Wert zu niedrig?). Eigentlich hatte ich vor, den c_W
Wert von dem einer Tropfenform über den einer Zwiebelform zu dem der
Kugelform zu interpolieren (in Abhängigkeit des Volumens zum
Maximalvolumen). Leider würde dann der c_W Wert noch kleiner als
derzeit...
Oder habe ich einen anderen großen Fehler gemacht (z.B. bei der
Berechnung des Ballonvolumens?)?

Ich habe nach intensiver Suche im Internet eine Untersuchung mit
mathematischem Modell eines Stratosphärenballons gefunden:
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Dort (Gleichung 1) wird zusätzlich zu meinen Kräften noch eine
dynamische Auftriebskraft und Grund der Luftbeschleunigung und eine
Beschleunigungswiderstandskraft zwischen Luft und Ballon
berücksichtigt. Allerdings finde ich in deren Gleichung 1 keine
Berücksichtigung der Gewichtskraft.
Zu beiden Kräften konnte ich bisher nichts weiterbringendes im
Internet finden. Meine Auftriebskraft wird meist als statische
Auftriebskraft bezeichnet und der senkrecht zur Strömung wirkende
Auftrieb wie er an einer Tragfläche Auftritt als dynamische
Auftriebskraft. Eine solche ist in dem Paper meiner Auffassung nch
allerdings nicht gemeint.


Ich hoffe sehr, dass Ihr mir bei meinem Problem weiterhelfen könnt und
wäre Euch für jegliche Hilfe sehr dankbar!

Vielen Dank im voraus,
-Jens


f'up: de.sci.physik



[1] Kittinger: Fantastic Catch in the Sky, Record Leap Toward Earth
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[2] Fournier: Le Grand Saut / The Super Jump
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[3] Müller: Reale Bewegungen modellieren - Ein Sturz aus 30000 Meter
Höhe
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[4] NASA: U.S. Standard Atmosphere, 1976
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Jens Remus schrieb u.a.


Hallo Jens,

ich habe deinen Beitrag nur überflogen. Allerdings ist mir sofort
aufgefallen, das du die Temperatur im Ballon immer gleich der Temperatur der
Umgebungsluft gleichsetzt. Das ist m.E. falsch. Gase sind sehr schlechte
Wärmeleiter und bei der Abkühlung durch den Aufstieg handelt es sich ume
einen nahezu adiabatischen Prozess (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung).
Die Abkühlung erfolgt also nur durch die Ausdehnung des Gasvolumens aufgrund
abnehmendem Aussendruck.

Vielleicht hilft's ja

Dieter

On Wed, 28 Nov 2007 20:02:04 +0100, "flieger-dieter"
<[Only registered users see links. ]> wrote:


Das sich die Gastemperatur im Ballon nur langsam der Außentemperatur
angleicht hatte ich befürchtet, es allerdings im Rahmen meiner
Simulation vernachlässigen wollen, da es schließlich nur eine einfache
Untersuchung im Rahmen des eines Scheins ist und keine Diplomarbeit.

Ich würde dem Umstand allerdings gerne berücksichtigen, sofern sich
dieser Prozess als einfache Funktion der Innen- und Außentemperatur
und ggf. anderer Parameter (Dichte, Druck, Volumen) darstellen ließe.
Hast Du vielleicht einen Hinweis für mich, wonach ich suchen müsste?
Wahrscheinlich müsste ich dann auch die Ballonhülle als Isolator
berücksichtigen oder ist diese zu dünn, um eine Rolle zu spielen?

Sollte ich das Gas im Inneren hingegen in ein Scheibchenmodell
zerlegen müssen, um den Wärmeaustausch von einer Schicht zur nächsten
zu Berechnen, so würde ich darauf gerne verzichten.
So eine Aufgabe hatten wir einmal vereinfacht als Stab mit konstanter
Wärmequelle und idealem Isolator am anderen Ende, den wir in n
gleichbreite Teilstücke zerlegt und berechnet haben. Ein anderemal als
Rohr mit unterschiedlichen Schichten und radialer Wärmeausbreitung.

Um auf mein Grundproblem mit dem Ballon zurückzukommen:
Nach dem U.S. Standard Atmosphere, 1976 Modell fällt die Temperatur
zwischen 0km - 11km stark, bleibt dann zwischen 11km - 20km konstant,
steigt wieder etwas zwischen 20km und 32km und steigt ab 32km stark
an.
Würde der Ballon unter Berücksichtigung der langsameren Abkühlung bis
20km nicht sogar noch schneller Steigen, da sein Volumen auf Grund der
höheren Innentemperatur größer wäre als ohne die langsamere Abkühlung?
Erst beim überschreiten der 20km wo die Außentemperatur zunächst nur
langsam steigt, würde es umgekehrt sein und der Ballon langsamer
steigen, dann ab 32km würde es sicherlich einen größeren Unterschied
machen. Ob dieser jedoch den Unterschied 27 Minuten zu 3 Stunden
ausmachen kann?

Vielen Dank im voraus,
-Jens

flieger-dieter schrieb:

Die Wärmeleitfähigkeiut von Gasen mag ja im Vergleich zu Flüssigkeiten
und Festkörpern gering sein, aber ihre Wärmekapazität ist noch geringer.
Deshalb halte ich das hier für eine gewagte These:


Ich fürchte, das wird man berechnen müssen, was wegen der Konvektion im
Ballon nicht trivial ist.

Moin,

Jens Remus schrub:


Ist dir klar, dass der Widerstandsbeiwert von den Luftdaten
abhängt? Und das auf recht unvorhersehbare Weise.


Das würde ich noch mal überprüfen. Immerhin steigt der Ballon
angeblich ja nur mit 10km/h. Das ist nicht sehr schnell. Die
Formel für den Widerstand kann da mächtig daneben liegen. Für
langsame Strömungen hat man eher einen Widerstand der
proportional zur Geschwindigkeit ist:
F_W=6*pi*eta*r*v

mit eta = dynamische Viskosität
(Quelle: Kuchling, 'Stokessche Reibung')

Das gilt nur für nicht-turbulente Strömung. Aber verblüffend:
eine turbolente Strömung kann einen geringeren Widerstand haben,
als eine laminare, zumindest bei einer Kugel.

Bin jetzt zu faul zum Nachrechnen, ob das hier der Fall ist. Und
schau mal nach, ab welchen Reynoldszahlen diese Formel richtig
ist, und wann die von dir verwendete gilt.

CU Rollo

Roland Damm schrieb:

Für die Anwendbarkeit dieser (Stokes'schen) Widerstandsformel ist
aber nicht Größenordnung der dimensionbehafteten Geschwindigkeit,
sondern die Größe der Reynoldszahl entscheidend. Sie gilt nur
für sehr kleine Reynoldszahlen. Wie groß ist so ein Ballon? 10 m
Durchmesser? Dann hat man grob (mit Daten von Luft bei RT):

Re = rho*V*r/eta ~ 1e6

Der Ansatz F_W = c_W * 1/2*rho*v^2 * A ist dafür der richtige.


Wenn das wirklich so wäre (und nicht nur ein Artefakt des
überstrapazierten Anwendungsbereichs der Stokes'schen Näherungsformel)
wäre es in der Tat verblüffend :-)



--
Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

Moin,

Ulrich Lange schrub:


Stimmt, die Zahlen sagen das recht eindeutig. Allerdings kann ich
mir den Leebereich eines aufsteigendes Ballons schwer als
Turbulent vorstellen.

Blieben noch andere Erklärungen: Es könnte sein, dass das Gas im
Ballon nicht den selben Druck hat, wie die Umgebung. Um wie viel
der Druck höher ist, wird sicher von der Ballon-Geometrie
abhängen. Kann mir aber auch nicht recht vorstellen, dass das
viel ausmacht.

Dann wäre da noch der Luftwiderstand der Gondel. Aber wenn man
den Ballon selbst schon turbulent rechnet, dürfte der nicht mehr
ins Gewicht fallen.

Ist der Gasverlust so eines Ballons mit der Zeit entscheidend?

Oder ist es nur ein stumpfer Rechenfehler, der so klein ausfällt
(3h/0.5h), weil der über die Geschwindigkeit quadratische
Luftwiderstand falsche zu große Geschwindigkeiten auf moderat zu
große bremst?

CU Rollo

On Thu, 29 Nov 2007 00:32:22 +0100, Roland Damm <roland-damm@arcor.de>
wrote:


Ja, jedoch kommen meine Simulationsergebnisse des Fallschirmsprungs
auch ohne Berücksichtigung dieses Umstands schon recht gut hin. Ich
bearbeite die Aufgabe im Rahmen meines Studiums der Technischen
Informatik und daher ist es nicht notwenidg alles 100% korrekt zu
betrachten, es wird lediglich von mir der Nachweis verlangt, dass ich
ein hinreichend komplexes Problem mit Matlab & Simulink bearbeiten
konnte.

Leider habe ich schon zum c_W Wert eines militärischen Fallschirms
recht wenig gefunden (vielleicht habe ich aber auch nur die falschen
Suchbegriffe verwendet: "parachute drag coefficient filetypedf" ohne
Anführungszeichen).
Wenn mir jedoch jemand einen Hinweis zu Daten hierzu geben kann (am
besten c_W in Abhängigkeit von Re), dann könnte ich das recht einfach
mittels einer interpolierenden Lookup-Table in Simulink
berücksichtigen (siehe dazu auch mein Beispiel des c_W(Re) Werts einer
Kugel weiter unten).


Ich werde es mal mit dem c_W(Re) Wert einer Kugel wie in dem Diagramm
angegeben versuchen:
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Hat jemand von Euch vielleicht noch eine bessere Quelle für den c_W
Wert in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl?

Vielen Dank im voraus,
-Jens

On Thu, 29 Nov 2007 10:11:44 +0100, Roland Damm <[Only registered users see links. ]>
wrote:


Die bei Kittinger und Fournier verwendeten Stratosphärenballone heißen
im Englischen "zero-pressure balloon", weil der Druckunterschied zur
Atmosphäre (in etwa) gleich null ist:
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Allerdings haben sie im Gegensatz zu meinem Modell eine Öffnung oder
ein Ventil an der Unterseite, an der beim Erreichen der maximalen Höhe
Gas austreten kann. In meinem Modell beschränke ich das Ballonvolumen
beim Überschreiten des maximalen Volumens. Das ist natürlich insofern
falsch, als dass beim Einschwingen (sofern das in der Realität so
extrem wie bei mir vorkommt) beim Überschreiten der maximalen Höhe Gas
entweichen würde.


Laut NASA kann ein solcher Ballon mehrere Tage oder gar Wochen
schweben bleiben, so dass dies vermutlich nicht so sehr ins Gewicht
fällt. Es sei denn der Verlust der Gasmenge durch die Öffnung/Ventil
während der Ausdehnung tritt schon vor erreichen maximalen Volumens
auf.

Allerdings frage ich mich doch, wie es sich mit dem Druck im Ballon
verhält:

Ich nehme an:
- Das maximale Volumen beeinflusst die maximal erreichbare Höhe.
- Die Masse des Ballons+Last beeinflusst ebenfalls die erreichbare
Höhe (je mehr der Ballon tragen muss, desto weniger hoch fliegt er).

Ich nehme weiterhin an, der Druckunterschied ist immer gleich null,
bis der Ballon sein maximales Volumen erreicht.

Meine Frage ist nun: erreicht der Ballon zwangsläufig immer sein
maximales Volumen? Hänge ich zu viel Ladung an ihn, so steigt er ja
nicht mehr so hoch. Kann der nun niedrigere Luftdruck in der
geringeren Höhe dazu führen, dass der Ballon nicht sein maximales
Volumen erreicht?
Wenn dem so ist: Übt dann die Last nicht eine Kraft auf die
Ballonhülle aus, so dass sich das Gas (geringfügig) komprimieren
müsste? Eigentlich auch während des gesamten Aufstiegs?



Ich habe das noch einmal überprüft. Ich nehme an, dass meine Blöcke
zur Berechnung der Gewichtskraft und der Strömungswiderstandskraft
korrekt sind, da ich diese auch für das Modell des Fallschirmspringers
nutze.
Untersucht habe ich also noch einmal:
- Die Berechnung des Kugelradius aus dem Kugelvolumen des Ballons und
die anschließende Berechnung der Kreisfläche
(Kugelquerschnittsfläche), die in die Berechnung des
Strömungswiderstands eingeht.
- Die Berechnung des Kugelvolumens durch die Druck- und
Temperaturänderung der Atmosphäre.
- Die Berechnung der Auftreibskraft F_A = rho * V * g

Ich konnte soweit keinen Fehler feststellen. :/

Die Kräfte im Diagramm:
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Vielen Dank im voraus,
-Jens

On Thu, 29 Nov 2007 08:01:03 +0100, Ulrich Lange
<ulrich.lange@invalid.invalid> wrote:


Ich habe für meine derzeitige Simulation des Aufstiegs in 40km einmal
die Reynolds-Zahl über die Zeit als Graph erstellt:
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Natürlich ist sie insofern fehlerbehaftet, als dass die
Aufstiegsgeschwindigkeit fehlerhaft ist.

Ich habe die Reynolds-Zahl Re folgendermaßen berechnet:
Re = Geschwindigkeit * Kugeldurchmesser / kinematische Viskosität

Die kinematische Viskosität habe ich mit Hilfe der in der
Dokumentation zur U.S. Standard Atmosphere, 1976 angegebenen Formeln
und Konstanten berechnet. Sie ist daher korrekterweise höhenabhängig.

Der zweite Knick resultiert höchstwahrscheinlich aus der Begrenzung
auf das maximale Volumen und damit auch der charakteristischen Länge L
(Kugeldurchmesser).
Den ersten Knick kann ich nicht so recht erklären.

-Jens