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Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über Wellenlängenbereich

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  #1  
Old 11-03-2007, 10:03 PM
dudi24
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Default Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über Wellenlängenbereich



Hallo,
ich stehe momentan vor dem Problem, das Planckspektrum nur über einen
kleinen Wellenlängenbereich integrieren zu wollen - ich würde gerne
die Strahlungsdichte berechnen wenn ich mir einen leuchtenden
Schwarzen Körper durch ein Bandpassfilter anschaue.
Ich scheitere daran, dass Integral

\int_{x1}^{x2} (x^3 / (exp(x) - 1) ) dx

zu lösen für den Fall das x1 nicht 0 und x2 nicht unendlich ist (wie
z.B. im Fall der Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes aus dem
Planckspektrum). Gibt es dafür eine "einfache" Lösung, also eine die
ich als "Nicht-theoretischer" Physiker einigermaßen nachvollziehen
kann?
Im Moment bin ich drauf und dran das einfach über den Mittelpunkt
meines relativ schmalen Filterbereichs zu nähern, es wäre aber schön
wenn das auch irgendwie analytisch ginge :-)

Danke,
Sven

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  #2  
Old 11-03-2007, 10:28 PM
Hendrik van Hees
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Default Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über Wellenlängenbereich

dudi24 wrote:


Klar, aber es gibt PolyLogs, die mir (obwohl theoretischer Physiker)
auch nicht so viel sagen ;-). Warum machst Du's nicht einfach
numerisch?

--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
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  #3  
Old 11-03-2007, 10:39 PM
Oliver Jennrich
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Default Integration des Planckschen Strahlungsgesetzesüber Wellenlängenbereich

dudi24 <[Only registered users see links. ]> writes:


Sicher gibt es dafür Lösungen [1]. Allerdings sind die vermutlich nicht
besonders hilfreich, wenn du letzlich den Wert des Integrals (und
nicht seine funktionale Form) brauchst.


Warum nicht numerisch?



Footnotes:
[1] Hier ist eine:
-1/4*x2^4+x2^3*ln(1-exp(x2))+3*x2^2*polylog(2,exp(x2))-6*x2*polylog(3,exp(x2))+6*polylog(4,exp(x2))+
1/4*x1^4-x1^3*ln(1-exp(x1))-3*x1^2*polylog(2,exp(x1))+6*x1*polylog(3,exp(x1))-6*polylog(4,exp(x1))


--
Space - The final frontier
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  #4  
Old 11-04-2007, 11:09 AM
dudi24
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Default Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über Wellenlängenbereich

On 3 Nov., 23:39, Oliver Jennrich <[Only registered users see links. ]> wrote:

Ich denke mal das es darauf hinauslaufen wird - die analytische Lösung
spielt für mich dann doch in einer anderen Liga :-)

Ich muss mal schauen ob ich die höhere Genauigkeit der numerischen
Integration gegenüber dem Mittelwert überhaupt brauche - es geht
hauptsächlich um eine grobe Abschätzung über - die Analytische Lösung
wäre halt eleganter gewesen.

Vielen Dank euch beiden,
schönes Wochenende noch,
Sven

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  #5  
Old 11-04-2007, 02:18 PM
Oliver Jennrich
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Default Integration des Planckschen Strahlungsgesetzesüber Wellenlängenbereich

dudi24 <[Only registered users see links. ]> writes:


Die angegebene Lösung spielt in der CAS-Liga, in diesem Fall
Maple, und dort gehört sie auch hin.


Meist ist sie nicht eleganter, sondern nur prätentiöser. Ich frage
mich regelmäßig beim Lesen von Diplom- oder Doktorarbeiten, ob der
Autor noch mit dem Boden verhafet ist.

Wenn man eine analytische Lösung nur dazu braucht, um die effektive
Filterbreite auszurechnen (und das auch nur für einen Spezialfall, in
dem vermutlich die funktionale Form der Filtertransmission auch nicht
bekannt ist, sondern nur numerisch vorliegt), dann ist es wirklich
überflüssig, den Leser mit Polylogarithmen, Gammafunktionen und
Hypergeometrischen Funktionen zu belästigen - der Erkenntnisgewinn ist
gleich Null.

--
Space - The final frontier
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Tags
des , integration , planckschen , strahlungsgesetzes , wellenlängenbereich , über


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