Zeit in der Quantentheorie

In einem Vorlesungsskript stand mal etwas darüber, dass die Zeit in der
Quantentheorie keine Observable sein kann.

Mir ist das nicht ganz klar, warum die Zeit eine so spezielle Bedeutung
hat. Der Ort ist beispielsweise äquivalent zum Impuls, in der Hinsicht
dass sich alle Vorgänge auch im Impulsraum formulieren lassen. Und
natürlich gibt es Operatoren mit Ort bzw Impuls als Eigenwerte.

Liegt die Besonderheit darin, dass die Zeit explizit und in allen
Darstellungen in der Schrödingergleichung vorkommt?

Alexander Streltsov schrieb:

Im Schr"odingerbild ist der Zustand f"ur fixe Zeiten definiert,
und damit die Zeit ausgezeichnet. Hier ist Zeitmessung schwierig zu
diskutieren, da die Zeit, zu der ein Zustand betrachtet wird,
immer scharf ist.

Im Heisenbergbild kommt die Zeit als Parameter in den Observablen vor,
und ist damit auch ausgezeichnet, aber auf andere Weise.
Parameter sind de facto einfach kontinuierliche Indices und keine
Observablen. So wie 3 keine Observable ist, p_3 aber schon, so ist t
keine Observable, H(t) aber schon. Observablen haben zu _jedem_
Zeitpunkt einen mittleren Wert; der Zeitpunkt (''jetzt'') ist nicht
als Observable modelliert.

Was man aber modellieren kann, ist dagegen eine Uhr, d.h. eine
Observable, die sich auf vorhersagbare Weise mit der Zeit "andert.
Hat man ein System, in dem eine Observable u(t) das Verhalten
ubar(t) := <u(t)> = u_0 + v (t - t_0) (v nicht 0) (*)
mit gen"ugender Genauigkeit erf"ullt, so hat man eine Uhr,
und kann anhand von <u(t)> feststellen, wieviel Zeit
T = Delta t
zwischen zwei beobachteten Datens"atzen vergangen ist.
Das ist die normale Art, wie wir auch klassisch Zeit messen.

Dazu muss nat"urlich T gegen"uber der intrinsischen Unsch"arfe
Sigma_T := |v^{-1}| sigma(u(t))
von T gross genug sein. Dabei ist
sigma(u(t)) = sqrt(<(u(t)-ubar(t))^2>)
die Standardabweichung von u(t) im ordnungsgem"assen
(quantenmechanischen) Zustand <.>. Ist (*) signifikant fehlerbehaftet,
so ist Sigma_T nat"urlich entsprechend gr"osser.


In der relativistischen Quantenfeldtheorie (die fast immer im
Heisenbergbild formuliert wird) wird aus der 1-dimensionalen Zeit t
die 4-dimensionale Raumzeit x. Auch x tritt als Parameter der
Observablen (Felder) auf, und ist daher keine Observable.
Ort und Zeit sind zwar jetzt gleichberechtigt, aber beide als
Nichtobservable. Die Observablen sind Felder; Orte und Zeiten werden
durch unscharfe 1-dimensionale Weltlinien mit hoher <Felddichte>
modelliert. (Man denke an die Spur eines Teilchens in der Blasenkammer.)

Jetz braucht man zur Orts- und Zeitmessung ein 4-Vektorfeld u(t)
mit
<u(t)> = u_0 + V (x - x_0)
mit einer regul"aren 4x4-Matrix V, und die intrinsische Unsch"arfe
nimmt die Form
Sigma_T := sigma(V^{-1}u(t))
an, wobei
sigma(a(t)) = sqrt(<(a(t)-abar(t))^*(a(t)-abar(t))>),
abar(t)=<a(t)>
ist.

Fazit: In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird Zeit immer
indirekt "uber Observablen von Uhren in kalibirierten Zust"anden
gemessen. In der relativistischen Quantenfeldtheorie gilt dasselbe
f"ur Position und Zeit.


Das funktioniert allerdings nur, wenn man einzelnen Uhren einen
wohldefinierten Zustand zuordnet, also eine Version der
Kopenhagen-Interpretation zugrundelegt.

In der minimalen statistischen Interpretation braucht man ein
ganzes Ensemble von identisch pr"aparierten Uhren, um Zeit messen
zu k"onnen...


Arnold Neumaier

Alexander Streltsov wrote:

Geht auf die Beobachtung zurück, dass die "Observable" t
kontinuierliches reelles Spektrum hat, ihre formal konjugierte Variable
i d/dt mit der Energie identifiziert werden müßte, die aber positives
reelles Spektrum hat. Demnach ist t nicht als Funktion von x und p über
einem Hilbertraum L^2(R^2,d^3x) oder L^2(R^3,d^3p ) oder ähnlichem zu
fester Zeit darstellbar.

Natürlich lassen sich Zeitdifferenzen indirekt messen, das sind dann
aber Korrelationsmessungen für Observable oder Zustände zu zwei
verschiedenen Zeiten, z.B. Übergangswahrscheinlichkeiten unter Einfluß
von Störungen im Zeitverlauf.


Sie kommt eben nur als Parameter vor. Das ist in der klassischen
Mechanik genau so: Die Zustände sind Wahrscheinlichkeitsdichten auf dem
Phasenraum, die Zeitentwicklung eine kanonische Abbildung der
Anfangswerte auf die Zeitwerte und die Zeit kann man an x,p-Verteilungen
nicht ablesen, die liest man auf einer angeschraubten Uhr ab, die mit
dem System absolut nicht wechselwirken darf.

--

Roland Franzius

roland franzius schrieb:

Das ist kein schl"ussiges Argument im Rahmen der Quantenmechanik.
Warum sollte denn eine Zeitobservable eine formal konjugierte Variable
haben m"ussen? Observablen wie der Drehimpuls haben ja auch keine...




Arnold Neumaier

Arnold Neumaier schrieb:

Cut und Paste - Fehler...
sollte nat"urlich heissen:

Jetzt braucht man zur Orts- und Zeitmessung ein 4-Vektorfeld u(x)
mit
<u(x)> = u_0 + V (x - x_0),
mit einer regul"aren 4x4-Matrix V, und die intrinsische Unsch"arfe
nimmt die Form
Sigma_T := sigma(V^{-1}u(x))
an, wobei
sigma(a(x)) = sqrt(<(a(x)-abar(x))^*(a(x)-abar(x))>),
abar(x)=<a(x)>.
ist.

Arnold Neumaier wrote:


Die Darstellung der Drehgruppe, der Translationsgruppe und der
Zeittranslation haben jeweils eine eigene Spektraldarstellungstheorie.
Der erste Satz deiner Antwort kann entfallen, der zweite wirkt hilflos,
der dritte uninformiert.

--

Roland Franzius

Alexander Streltsov wrote:


Der Grund ist der folgende. Wäre die Zeit t eine Observable, müßte sie
durch einen selbstadjungierten Operator beschrieben werden. Da der
Hamiltonoperator per definitionem Zeittranslationen erzeugt (Noether!),
muß demnach gelten

[t,H]=i

genau analog zu x und p, denn p ist erzeuger räumlicher Translationen
(Noether!):

[x_j,p_k]=i \delta_{jk}

Genau wie bei der entsprechenden Behandlung des Impulses, würde daraus
dann zwingend folgen, daß das Spektrum von H ganz R (reelle Zahlen)
ist. Damit wäre also H nicht nach unten beschränkt, und es gäbe keinen
stabilen Grundzustand, ein Desaster also.

Die Zeit bleibt also, was sie schon in der klassischen Physik war,
nämlich ein Parameter, der die Kausalfolge von Ereignissen
durchnumeriert :-).

--
Hendrik van Hees Texas A&M University
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roland franzius schrieb:

Die Darstellungstheorie der Translationsgruppe ist von der der
Heisenberggruppe verschieden. Nur in der letzteren gibt es formal
konjugierte Variablen. Warum die Zeit in der Quantenmechanik durch
eine Heisenberggruppe statt nur durch eine Translationsgruppe
beschrieben werden m"usste, ist unerfindlich.


Arnold Neumaier

Hendrik van Hees schrieb:

demnach? Das hat keine Herleitung.


Diese Relationen folgen keineswegs aus dem Noether Theorem,
sondern m"ussen unabh"angig davon postuliert oder hergeleitet werden.
Im Quantenfall ist das recht nichttrivial, und analog postulierte
Relationen in komplizierteren Situationen k"onnen schlichtweg falsch
sein - wie man z.B. in der Diskussion von Kommutatorrelationen in
der Quantenfeldtheorie bei Bjorken und Drell nachlesen kann.

Das ist also eine wurmstichige Erkl"arung ohne hinreichenden Grund.



Dieser Teil ist korrekt. Sobald man [t,H]=i voraussetzt, hat H ein
nach unten unbeschr"anktes Spektrum, was physikalisch sinnlos ist.



Ja, nur nicht aus dem obigen Grund.

Die Kommutatorregeln werden in der Quantenmechanik durch Ersetzen
der klassischen Poissonklammern durch skalierte Kommutatoren ermittelt.
Man sieht aber leicht, dass die Zeit auch in der klassischen
nichtrelativistischen Mechanik keiner {t,H}=1 entsprechenden
Relation gen"ugt. Daher gibt es keine Ursache, quantenmechanisch
von [t,H]=i auszugehen.

Nahegelegt wird [t,H]=i allerdings von oberfl"achlichen Anleihen
bei der Relativit"atstheorie, in der Raum und Zeit analog
behandelt werden. Aber dort haben weder Raum noch Zeit
Observablencharakter, und auch die Relation [x_j,p_k]=i \delta_{jk}
verliert dort ihre Bedeutung. Denn in einer irreduziblen Darstellung
der Poincaregruppe (die ein relativistisches Teilchen beschreibt)
haben nur der 4-Impuls und der 4-Drehimpuls Observablencharakter.
Daraus lassen sich zwar (beobachterabh"angig) 3D Ortsvariable
mit den richtigen Kommutatorregeln rekonstruieren (Newton-Wigner
Positionsoperator), aber kein Zeitoperator.


Arnold Neumaier

Arnold Neumaier wrote:

Die Schrödingergleichung legt Schnitte durch das Produkt-U(1)-Bündel zB
über zB L^2(R^3,d^3x) und L^2(R,dt)und versucht die formal
selbstadjungierten Operatoren id/dt und t auf L^2(R) über der
beiderseits unendlichen Zeitachse mit Operatoren in L^2(R^3,d^3x) des
Hilbertraums im Ortsraum zu identifizieren. Das dynamische
Entwicklungsgesetz id_t psi = H psi identifiziert den Generator der
Zeitentwicklung auf den Schnitten der Lösungen mit einer Funktion
H(p,q), es findet sich aus den genannten Gründen aber nichts dergleichen
für t.

Der Grund ist im Wesentlichen, das zwar e^(i a p) f(x)= f(x+a) die
unveränderte Verschiebung aller Zustände und Operatoren im Ortsraum
bewirkt, während e^(-iHt)psi die dynamische Veränderung beschreibt. Die
formale Zeittranslation ohne Veränderung erfolgt durch Verstellen der
Uhr, dafür ist H nicht zuständig.

Vielleicht fällt dir das leichter zu verstehen, wenn du formal den
Hilbertraum über R^4 der (t,x) mit einem endlichen t-Intervall als
Randwertproblem auf den beiden begrenzenden Zeitscheiben betrachtest.
Das ist der Zugang der relativistischen QFT, in der man die
Darstellungs-Hilberträume eher als Funktionenräume der Anfangs- und
Enddaten betrachtet und die schrägen Hilberträume und Darstellungen
dazwischen mittels Stokesscher Sätze koordinatenfrei für Operatordichten
formulieren kann. Da besteht das Problem darin, dass das Zeitintervall
endlich ist, id/dt nicht wesentlich selbstadjungiert ist und man
keineswegs die Freiheit besitzt, für Wellengleichungen die Start- und
Enddaten unabhängig zu wählen.

Das ist ja kein eigentliches Quuantenproblem, sondern ein Problem aller
hyperbolischen Differentialgleichungen, in denen der
Zeitentwicklungsoperator durch einen lokalen Laplace- Dirac- oder
Maxwell-artigen Differentialoperator im Funktionenraum über den
Ortsvariablen dargestellt wird.


--

Roland Franzius