chemisches Potential: wann?

Hallo Leute,

dumme Frage: warum haben Phononen (und Photonen) kein
(nichtverschwindendes) chemisches Potential?
Oder genauer: Was ist das formale Kriterium dafür, daß zu einer
gegebenen Teilchensorte im großkanonischen Ensemble ein
chemisches Potential ungleich 0 existiert?

Ich lese in den Büchern über Vielteilchentherorie kryptische Sätze wie
"Man kann beliebig viele Phononen erzeugen. Also ist ihr chemisches
Potential 0". Aber was bedeutet das? In der harmonischen Approximation
ist der Hamiltonian der Phononen in Besetzungszahldarstellung mit ebenen
Wellen
als Basis gegeben als H=sum_k \hbar \omega_k (n_k+1/2).
Dieser Hamiltonian kommutiert aber offenbar mit den Operator der
Gesamtteilchenzahl.
Also existieren gemeinsame Eigenzustände (eben die Fockzustände), sodaß
die Zahl der Phononen eben doch erhalten ist. ???

Etwas anderes ist es, wenn man anharmonische Terme oder Wechselwirkung mit
z.B. Elektronen hinzunimmt. Bei WW mit Elektronen ist der WW-Operator
linear in den Vernichtern a_k und Erzeugern a_k^+, sodaß hier die
Phononenzahl
nicht mehr erhalten ist. Nun "leben" Phononen und Photonen aber nicht in
einer
ansonsten leeren Welt. Ist das in der obigen "kryptischen Aussage" gemeint?

Umgekehrt müßten aber dann etwa alle denkbaren WW-Terme von Elektronen mit
Phononen
und Photonen mit dem Operator der Gesamtteilchenzahl vertauschen (denn die
Elektronen
haben ja ein chemisches Potential - die Fermienergie!). Es gibt aber viele
solcher Modelle
(Jellium, Anderson,Hubbard, BCS,...). Ist das bei allen diesen so?
Eigentlich müßte
ja die Teilchenzahl bei allen nichtrelativistischen Elektronmodellen
erhalten sein, oder?
Was unterscheidet da die Elektronen formal von Phononen etc.?
Ich habe jedenfalls in keinem Buch ein derartiges "Auswahlkriterium" für
mögliche
Wechselwirkungsterme in elektronischen Hamiltonians (zwingende
Vertauchbarkeit mit
dem Operator der Gesamtteilchenzahl) erwähnt gefunden. Ist das
eben eine so offensichtliche Bedingung an solche WW-Terme, dass nur ich mich
darüber wundere?

Kann mir jemand aus meiner Verwirrung helfen?

Andi

beheiger schrieb:

dass die Teilchenzahl (wenigstens approximativ) erhalten ist.



Ja, das ist auch wirklich so.



Genau die Teichenzahlerhaltung.


Arnold Neumaier

beheiger wrote:


Das ist ein ein wenig kryptisches Argument, das aber den Kern der Sache
ganz gut trifft. Wenn Du thermodynamisches Gleichgewicht beschreiben
willst, muß der Statistische Operator notwendig eine Funktion der
Erhaltungsgrößen des Systems sein, und solche Erhaltungsgrößen
existieren dann und nur dann, wenn es eine entsprechende Symmetrie
gibt. Für Photonen gibt es keine Symmetrie, die die
Teilchenzahlerhaltung zur Folge hat und demnach kannst Du also auch im
thermodynamischen Gleichgewicht kein chemisches Potential einführen.

Nimm weiter die relativistische Physik, z.B. QED. Da gibt es die
Invarianz unter Phasentransformationen des Elektron-Positron (Dirac-)
Feldes, und die hat bekanntlich die Erhaltung der el. Ladung zur Folge.
Dementsprechend gibt es ein chemisches Potential für die Nettoladung.

Es gibt aber kein chemisches Potential für die Elektronen- oder
Positronenzahl für sich, denn es können bei Stößen stets
Elektron-Positronpaare erzeugt werden (solange die Energie dazu
ausreicht).

Freilich kann man im nichtrelativistischen Limes, die Paarerzeugung
vernachlässigen, und es gibt dann eine Elektronenzahlerhaltung. Der
formale Grund dafür ist, daß in diesem Limes die Diracgleichung zur
Pauligleichung für Elektronen übergeht, wobei man die Positronen
vernachlässigen kann, und da bedeutet die Invarianz unter
Phasentransformationen des Paulifeldes die Elektronenzahlerhaltung.

HTH.

--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
[Only registered users see links. ] mailto:[Only registered users see links. ].edu