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Hubbard-Stratonovics Transformation

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  #1  
Old 02-07-2007, 12:03 PM
beheiger
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Default Hubbard-Stratonovics Transformation



hallo leute,

in vielen büchern und vorlesungsskripten zu phasenübergängen findet sich
eine
"herleitung" des landau-ginzburg funktionals über eine hubbard-stratonovics
transformation der ising-zustandssumme. als beispiel betrachten wir etwa
[Only registered users see links. ].
blöderweise wird dabei meist verschwiegen, dass die hier auftretende matrix
K_{ij} weder invertierbar noch positiv definit ist, sodass das zur ableitung
"zwischendurch" benötigte gaussintegral eigentlich gar nicht existiert!
in manchen darstellungen wird die entsprechende "herleitung" etwas
sorgfältiger
durchgeführt (zb. binney et al: the theory of critical phenomena, appendix
K).
wie schon seinerzeit von berlin und kac bei der lösung des sphärischen
modells
vorgeführt, kann man den ising-constraint s_i^2=1 an die spins benutzen, um
eine gross genug gewählte - aber ansonsten beliebige - zahl \alpha=\alpha
s_i^2 dem
diagonalterm K_{ii} der matrix zuzuschlagen, und diese änderung mit einer
uninteressanten
multiplikativen konstante e^{-\beta\alpha N} in der zustandssumme zu
kompensieren.
danach ist diese modifizierte matrix positiv definit, und es existieren alle
im zuge der
herleitung gemachten operationen.

allerdings hängen nun aber die parameter des so gewonnenen
landau-ginzburg-funktionals
explizit von der beliebigen konstante \alpha ab! wie wird man diese
abhängigkeit wieder los????

beim sphärischen modell wird man alpha, soweit ich mich erinnere, insofern
los, als dass
man ja letztenendes die zustandssumme im td. limes über eine
sattelpunktsapproximation
tatsächlich analytisch ausrechnen kann; der dabei verwendete integrationsweg
in der komplexen
ebene kann auf grund der analytizität so verschoben werden, daß \alpha
verschwindet. gibt es im
falle des landau-ginzburg-gunktionals ein ähnliches analytizitätsargument?
dessen abhängigkeit
von \alpha wirkt auf mich jedenfalls "echt", was z.b. die werte von
korrelationsfunktionen betrifft,
die man ja aus dem hergeleiteten funktional (etwa mit monte carlo
simulationen) berechnen könnte!!!!

für hinweise wäre ich echt dankbar,

andi


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  #2  
Old 02-07-2007, 01:45 PM
Ralf Kusmierz
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Default Hubbard-Stratonovics Transformation

X-No-Archive: Yes

begin quoting, beheiger schrieb:


Gern: Bring Deine Shift-Taste in Ordnung, wenn Du ernstgenommen werden
willst.


Gruß aus Bremen
Ralf
--
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphäre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hältst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nämlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
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  #3  
Old 02-07-2007, 02:29 PM
beheiger
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Default Hubbard-Stratonovics Transformation


"Ralf Kusmierz" <me@privacy.invalid> schrieb im Newsbeitrag
news:eqcl5b$k3h$[Only registered users see links. ]...
na wenn das reicht um hier ernst genommen zu werden...


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  #4  
Old 02-07-2007, 03:13 PM
beheiger
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Default Hubbard-Stratonovics Transformation

(Also nochmals, in der Version für Leseschwache

Hallo Leute,

in vielen Büchern und Vorlesungsskripten zu Phasenübergängen findet
sich eine "Herleitung" des Landau-Ginzburg Funktionals über eine
Hubbard-Stratonovics Transformation der Ising-Zustandssumme.
Als Beispiel betrachten wir etwa
[Only registered users see links. ].
Blöderweise wird dabei meist verschwiegen, dass die hier auftretende
Matrix K_{ij} weder invertierbar noch positiv definit ist, sodass das zur
Herleitung "zwischendurch" benötigte Gaussintegral eigentlich gar nicht
existiert! In manchen Darstellungen wird die entsprechende "Herleitung"
etwas sorgfältiger durchgeführt (zb. Binney et al: The Theory of Critical
Phenomena, Appendix K). Wie schon seinerzeit von Berlin und Kac bei
der Lösung des Sphärischen Modells vorgeführt, kann man den
Ising-Constraint s_i^2=1 an die Spins benutzen, um eine gross genug
gewählte - aber ansonsten beliebige - Zahl \alpha=\alpha*s_i^2 dem
Diagonalterm K_{ii} der Matrix zuzuschlagen, und diese Änderung mit
einer uninteressanten Multiplikativen Konstante e^{-\beta\alpha N} in
der Zustandssumme zu kompensieren. Danach ist diese modifizierte
Matrix positiv definit, und es existieren alle im Zuge der Herleitung
gemachten Operationen.

Allerdings hängen nun aber die Parameter des so gewonnenen
Landau-Ginzburg Funktionals explizit von der beliebigen Konstante
\alpha ab! Wie wird man diese Abhängigkeit wieder los????

Beim Sphärischen Modell wird man \alpha, soweit ich mich erinnere,
insofern los, als dass man ja letztenendes die Zustandssumme im td.
Limes über eine Sattelpunktsapproximation tatsächlich analytisch
ausrechnen kann; der dabei verwendete Integrationsweg in der
komplexen Ebene kann auf Grund der Analytizität so verschoben
werden, daß \alpha verschwindet. Gibt es im Falle des
Landau-Ginzburg Funktionals ein ähnliches Analytizitätsargument?
Dessen abhängigkeit von \alpha wirkt auf mich jedenfalls "echt",
was z.b. die Werte von Korrelationsfunktionen betrifft,
die man ja aus dem hergeleiteten Funktional (etwa mit Monte Carlo
Simulationen) berechnen könnte!!!!

Für Hinweise wäre ich echt dankbar,

Andi



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Tags
hubbardstratonovics , transformation


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