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Abstand von Gasteilchen

Abstand von Gasteilchen - Forum Physik

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  #1  
Old 09-25-2006, 04:10 AM
Ralf Kusmierz
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begin Text


Hallo,

ich kriege was nicht heraus:

Gegeben sei ein n-dimensionales Gasvolumen mit einer Teilchendichte
von m zufällig gleichverteilten Punktteilchen im Volumenelement.

Was ist die Verteilungsfunktion des Abstands eines Teilchens zu seinem
nächsten Nachbarn und deren Erwartungswert?

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie man das herleitet. Mal so
als Ansatz: Innerhalb eines Kugelvolumens V_K mit einem Teilchen im
Mitttelpunkt befinden sich durchschnittlich m*V_K weitere Teilchen.
Ist jetzt der Radius der Kugel mit dem Volumen V_K = 1/m der
Erwartungswert des Abstands eines Teilchens zu seinem nächsten
Nachbarn? Und wie schließt man auf die Verteilungsfunktion?

Der Zusammenhang zwischen Kugelradius r und Volumen V ist übrigens

V(r, n) = r^n * Pi(n/2) / Gamma(1+n/2) .

Damit wäre dann der Erwartungswert des Abstands zum nächsten Nachbarn

r_ = [Gamma(1+n/2)/(m*Pi(n/2))]^(1/n) .

Tabelle für m = 1:

n | r_
----+----------
1 | 0,500000
2 | 0,564189
3 | 0,620350
4 | 0,670937
5 | 0,717365
6 | 0,760530
7 | 0,801050
8 | 0,839366
9 | 0,875808
10 | 0,910632
11 | 0,944040
12 | 0,976193
13 | 1,007227
14 | 1,037252
15 | 1,066361
16 | 1,094636
17 | 1,122146
18 | 1,148949
19 | 1,175098
20 | 1,200641


Gruß aus Bremen
Ralf
--
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  #2  
Old 09-26-2006, 10:04 PM
Ralf Kusmierz
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begin quoting, Ralf Kusmierz schrieb:


Ist das irgendwie zu trivial, oder macht Trolle mästen einfach mehr
Spaß?


Was mir dazu noch eingefallen ist:

Wenn der Behälter das Volumen V hat, M Teilchen enthält und man ein
kleines Teilvolumen v betrachtet, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß
sich genau k weitere Teilchen in dem Teilvolumen befinden, in dem
eines enthalten ist,

p(k) = (M-1 über k) * (v/V)^k * (1 - v/V)^(M-k-1)


Daraus und aus o. a. Wahrscheinlichkeit müßte man durch Ableiten nach
r eigentlich die gesuchte Verteilungsfunktion bestimmen können - habe
ich zufällig einfach bloß Tomaten auf den Augen? Ich sehe es nämlich
nicht.


Gruß aus Bremen
Ralf
--
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  #3  
Old 09-26-2006, 10:54 PM
Jens Dierks
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Ralf Kusmierz schrieb:

Ich bin ja hier nicht gerade für die Kompetenz zuständig, aber für
mich sieht das alles andere als trivial aus. Hängt das nicht vom Gas
ab, wie weit bei einer bestimmten Temperatur die Gasteilchen von
ihrer mittleren Position abweichen, das ist vermutlich auch nichtlinear.
Die Anordnung und die Abstände der Atome/Moleküle hängen wohl ua von
der Beschaffenheit der Elektronenhülle ab?
Mit googeln nichts gefunden?

Jens

(hab evtll die Frage auch nicht richtig verstanden)



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  #4  
Old 09-27-2006, 12:21 AM
Ralf Kusmierz
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begin quoting, Jens Dierks schrieb:


Gasteilchen haben keine "mittlere Position", die sind einfach zufällig
da, wo sie gerade sind. Die "mittlere Dichte" ist auch nur ein
Zufallsprodukt: Nichts spricht dagegen, daß sich das gesamte Gas mal
links unten im vierunddreißigsten Kubikmikrometer befindet - daß es
das kurz darauf dann nicht mehr tut, ist ebenfalls reine Statistik.


Zu n-dimensionalen Gasen? Ich habe nicht einmal gesucht.


Die Frage war eine rein mathematische und ist von den realen
Eigenschaften freier Moleküle völlig unabhängig.


Gruß aus Bremen
Ralf
--
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  #5  
Old 09-27-2006, 12:32 AM
Rudi Menter
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Ralf Kusmierz begin:


Ja, es ist so schön, alles zu wissen, und wenn du noch aufmerksam
genug und lange konzentriert genug hinschaust, dann spricht auch
nichts dagegen, daß der Mond kurz mal würfelförmig aussieht...

--
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  #6  
Old 09-27-2006, 01:08 AM
Jan Bruns
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"Ralf Kusmierz":



Mir ist's einfach zu kompliziert.

Ist ja schon im eindimensionalen Fall nicht so einfach:

Wenn der Erwartungswert des Abstandes zu Nachbarn eines Punktes
bekannt ist, heisst das ja nicht, daß man damit auch den Erwartungswert
des Miniumums der Abstände beider Nachbarn kennt.

Wie das mehrdimensional funktionieren kann, sehe ich natürlich erst
recht nicht.


Nein. Das ist erstmal das Volumen, in dem sich wahrscheinlich ein
Teilchen befindet. Im doppelten Volumen sind dann wahrscheinlich sowohl
das Teilchen, von dem Du ausgehst, als auch ein weiteres. Eine Aussage
über den nächsten Nachbarn sehe ich darin allerdings auch nicht.






Nö, glaub' ich nicht. Du willst doch den Erwartungswert für den Radius,
in dem sich sicher genau ein weiteres Teil befindet, oder?

Gruss

Jan Bruns



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  #7  
Old 09-27-2006, 02:25 AM
Roland Damm
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Moin,

Ralf Kusmierz schrub:


Wie ist denn das im Eindimensionalen?

Angenommen die Gasdichte wäre 1, also im Durchschnitt pro
Längeneinheit 1 Teilchen. Eindimensional vereinfacht die Sache ja,
weil man die Teilchen auf einem Strahl sortiert hat. Ich kann also
fragen: Wie weit ist im Durchschnitt der rechte Nachbar entfernt.
Denn es gibt immer einen rechten und einen linken Nachbarn.

Gehe ich recht in der Annahme (ist vollkommen aus dem Bauch heraus),
dass die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass sich der Rechte
Nachbar im Abstand x befindet exp(-x) beträgt (Normierung und
Skalierung nach Bedarf)?

Jedenfalls falls man das gelöst hat, stellt sich die Frage nach dem
dichtesten Nachbar. Der dichteste unterscheidet nicht, ob er der
linke oder rechte Nachbar ist. Der nächste Nachbar ist weiter als a
weg, wenn der linke Nachbar weiter als a weg ist _und_ der rechte
ebenfalls. Bei _und_ denke ich an ein Produkt. Also sollte die
Funktion für den dichtesten Nachbar sowas wie das Quadrat der
Funktion für den rechten Nachbar sein. Demnach - weitergesponnen -
hat also der dichteste Nachbar eine Entfernung, die einer
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (exp(-x))^2 entspricht.

Ahnung habe ich auch nicht, aber eine interessante Frage.

CU Rollo
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  #8  
Old 09-27-2006, 07:05 AM
Roland Franzius
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Ralf Kusmierz schrieb:

Die Verteilungsdichte für N Teilchen der Masse m im Volumen V bei
Temperatur T ist bekanntlich klassisch unabhängig von der Geschwindigkeit

Pr[X_1\in dV_1 & .... & X_n \in dV_n]
= Exp(sum_(1<=i<k<=N) V(x_i-x_k)/(2 m k T)) dV_1.. dV_n/
int_V .. int_V Exp(sum_ik V_ik(x_i-x_k)/(2 m k T)) dV_1.. dV_n

Für freie Teichen V=0 also einfach das Produkt der Gleichverteilungen.
Die Zweipunktverteilung ist das Integral über dV_2...dV_n. Umrechung auf
Relativ- und Schwerpunktskoordinaten sollte für freie Teilchen im
Bereich des Möglichen liegen, wenn man sich auf Punkte fern vom Rand
beschränkt oder gleich ein unbeschränktes System konstanter Dichte
betrachtet.

--

Roland Franzius
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  #9  
Old 09-27-2006, 11:12 AM
Ralf Kusmierz
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begin quoting, Roland Franzius schrieb:


Falls das eine Lösung meiner Aufgabe sein soll, kann ich das zumindest
nicht erkennen.


Gruß aus Bremen
Ralf
--
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  #10  
Old 09-27-2006, 02:18 PM
Stefan Sprungk
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Ralf Kusmierz wrote:
Ich bin nicht der Theoretiker und meine Thermodynamik Vorlesungen die
ich mal gehört habe liegen auch schon einige Jahre zurück. Da nun
wirklich wenig Resonanz vorhanden ist werfe ich mal die folgende
Gedankenskizze ungeprüft in die Runde.

Ein n-Dimensionales ideales Gas wird von der Geschwindigkeitsverteilung
der Maxwell-Boltzmann Statistik folgen. Die mittlere freie Weglänge
hängt von der mittleren Energie bzw. Geschwindigkeit ab. Sie sollte auch
mit dem mittleren Abstand korrelieren.

Dan man, siehe oben, die Geschwindigkeitsverteilung kennt kann man um
die mittlere Geschwindigkeit variieren und die Änderungen in den
Wahrscheinlichkeitswerten angeben. Diese Ergebnisse lassen sich durch
Umrechnung auf Erwartungswerte für bestimmte Abstandsintervalle abbilden.

Zum prüfen und durchrechnen habe ich im Augenblick leider keine Zeit.
Ich würde versuchen auf die Grundformeln der kinetischen Gasttheorie
zurück zu greifen und diese mit der Maxwell-Boltzmann Statistik zu
verknüpfen.

MFG Stefan
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abstand , gasteilchen , von


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