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TOPOLOGIE, THERMODYNMIK UND GRUPPENTHEORIE

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  #1  
Old 08-18-2006, 10:05 AM
Pekka T. Laakso
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Default TOPOLOGIE, THERMODYNMIK UND GRUPPENTHEORIE



Topologie, Thermodynamik und Gruppentheorie

Schon vor einige Dezennien habe ich konstatiert, dass es eine formale
Analogie zwischen der Eulerschen Polyedersatz, p + f = k+2, in der Topologie
und dem Gibbschen Phasengesetzt, E + F= K+2, in der Thermodynamik der
Phasengleichgewichte. Natürlich fragte ich von mich selbst und viele
Kollegen, ob diese nur ein Zufall ist? Vergebens!

Vor einiger Zeit entdeckte ich endlich ein Buch, wo das Problem kurz
behandelt wurde:

ABC, Geschichte der Chemie, VEB - Verlag Lepzig, 1989, ISBN 3-342-00118-6,
Seite 305. Der Autor des Textes: KM = Prof. Dr.sc. Klaus Möckel ,
Mühlhausen.


Hier ein Excerpt aus der Seite 305 des Buches mit dem Stichwort
"PHASENGESETZ":

"Das Phasengesetzt drückt den mathematischen Zusammenhang zwischen der
Anzahl der Phasen p eines stofflichen Systems, der zu dessen Aufbau
erforderlichen, voneinander unabhängigen stofflichen Komponenten k und der
beliebig veränderlichen Zustandsvariablen f ( nach Gibbs Freiheiten genannt)

durch folgende Gleichung aus:


p + f = k + 2


Das Gibbssche P. ist formal dem von Descartes, R., (1640) und Euler, L..,
(1752) augestellten Polyedersatz gleich:


E + F = K + 2,

Dabei bedeuten E, F, und K in dieser Reihenfolge die Zahl der Ecken, Flächen
und die Kanten des Polyeders.

Ist das Gibbssche P. im Sinne eines S3 Simplex topologisch interpretierbar,
kann das darin ausgedrückte physik. Geschehen auf einer Kugeloberflähe
abgebildet werden.

KM "




Das Möbius Band und Die Maschiene Von Dirac

Vor einige Wochen entstand ein "neues, grob analoges Problem:

Gibt es irgendeine Kopplung zwischen dem Möbius Band in der Topologie und
der "Diracschen Machine", die bald vorgestellt wird?

Aber zuerst das Möbius Band: Wir nehmen einen rechteckigen Paperstreifen
ABCD und dann verdrillen ihn um 180 Grad oder eine halbe Umdrehung um die
Längsachse. Zuletz klebt man die Enden DA und BC zusammen so, so dass die
punkte A,C einerseits und die Punkte B, D andererseits zur Deckung kommen.
Das Resultat heisst Möbius Band.

Unterscheidendes Merkmal für das Möbius Band ist, dass es repräsentiert eine
Fläche mit einer Seite

verglichen mit z.B. einem Bogen aus Papier mit "Ober- und Unterseite"

Diese Eigenschaft wird in der Maschienentechnik benutzt um die "Lebensdauer"
der Riemen in der Getrieben zu verdoppeln. Denn "die beiden Seiten" der
Riemen werden durch die Friktion ebenso abgegriffen.

Wenn man statt einer halben Torsion um die Längsachse eine ganze Umdrehung
vor dem Leimen,

also zusammen zwei Verdrillungen, macht, ist das Resultat wieder eine
zweiseitige Fläche, doch sich verdreht.

So immer mit geraden Anzahlen und einseitige mit ungeraden.

Die Diracsche Machine*)

Wir haben einen Würfel, die Flächen deren mit sechs verschiedene Farben
angemalt worden sind.

Alle acht Ecken sind mit dehnbaren, elastischen Gummifäden ausgerüstet
worden. Die anderen Ende der Gummifäden sind symmetrisch an einem Gerüst
befestigt worden.

Wir nehmen an, dass der Würfel so im Raum sich befindet, dass, z.B. die
blaue Fläche gerade gegenüber dem Gesicht des Zuschauers und vertikal ist.

Dieser ist der Grundzustand. Dann dreht man den Würfel z.B. entgegengesetzt
dem Uhrzeigersinn 360 Grade oder eine Umdrehung um eine vertikale Achse, die
durch den Schwerpunkt geht. Wieder is die blaue Fläche vor und es scheint
flüchtig, dass diese Drehung von 360 Grade einer Identitätoperation
entspricht.

Denn nach der Definition von Hermann Weyl ist die Symmetrietransformation
eine solche, dass es nacher unmöglich zu konstatieren ist ob die
Transformation durchgeführt worden ist oder nicht.

Wirklich wenn der Würfel allein, ohne Gummifäden, im Raum wäre, entstünde es
keine Probleme!

Aber wenn wir den Würfel mit den verankerten Gummifäden nach der
Transformation anblicken, ist die Situation sehr fern von Grundzustand! Denn
die Gummifäden sind sehr "gekreuzt" oder übel verwirrt!

Die einzige Möglichkeit um nach Grundzustand zu gelangen, scheint die
Drehung den Würfel 360 Grade im Uhrzeigersinn zu sein. Also die
Umkehrtransformation für die frühere.


Wenn wir dagegen den Würfel noch eine Drehung entgegengesetzt dem
Uhrzeigersinn drehen also zusammen zwei ganze Umdrehungen, ist die
Verwirrung von Gummifäden noch schlimmer.

Nun stellen wir uns vor, dass wir den Würfel in den Raum verankern so fest
dass, der Würfel höchtens infinitesimale Verschiebungen ausführen kann.

Nun ist es nur eine Frage der Zeit und Geduld, den "Fadenwirrwarr",
vielleicht mit der Pinzette, auf- zuklären.

Das war vormals die Meinung von Nobelpreisträger und P.A.M. Dirac, der im
Jahre 1932 als 30-jährig in Cambridge zum Lucasianischen Professor der
Physik ernannt wurde. Derselbe Lehrstuhl, den Isaac Newton vormals und
Stephen Hawking heute hat.

Hiermit kann man sagen, dass jedenfalls Dirac hat wieder eine Voraussage
äussert, wie 1930 die Existenz von Positrone und die Möglichkeit der
Antimaterie, mit Recht:

"Nur die Transformation zwei volle Umdrehungen oder 720 Grade entspricht der
Identitättransfor- mation"*)

Hiermit könnte man sagen, dass die erste Umdrehung "einer Quadratwurzel von
Identität" entspricht. Die Maschine hätte auf diese Weise, in den Gummifäden
ein Gedächtnis!

* ) Simon L. Altman: Rotations, Quaternions and Doublegroups , Pages 23-24,
Clarendon Press Oxford 1986, ISBN 0-19-855372-2





Mit drei Umdrehungen wieder eine Verwirrung u.s.w. Ungerade Anzahl gibt die
Verwirrung. Gerade Grundzustand also Identität.


Wenn nun, nach der Drehung der Würfel 360 Grade, man möchte die Situation
nach Grundszustand zurückbringen, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Man ausführt die Umkehrtransormation und bekommt definitionsgemäss den
Grundzustand.

Diese bedeutet anschaulich, dass man mit Finger dreht den Würfel zurück und
die Gummifaden werden frei.


2. Man repetiert die Ursprüngliche Drehung und dann wird der Würfel zusammen
720 Grade gedreht.

Resultat: Die "Gummifadenwirrwarr" wird schlimmer. Die einzige Möglickeit
wäre nun die Pinzette, Zeit und Geduld benutzen. Die Ursache: Wir dürfen ja
nicht die Verankerung des Würfels enden.


Hiermit immer ungerade Anzahl von 360 Grade Drehungen erzeugt "Wirrwarr"und
gerade Anzahl den Grundzustand darum, dass das Resultat topologisch
equivalent mit dem Grundzustand ist.

..

Hier scheint eine grobe Analogie mit dem Möbius Band? Denn wenn die Enden
des Bandes eine ungerade Anzahl von 180 Grad, vor dem Leimen verdrillt wird,
ist Resultat eine einseitige Fläche und umgekehrt.

Um das Überraschende Paradoxon von Dirac, mit 720 Grade Drehung, zu
verstehen muss man sich auf Quantenmechanik verlassen.*)

Denn wenn der Würfel allein in Raum R-3, ohne Gummifäden, sich befinde,
musste man nur eine 360 Grade Umdrehung vollbringen um nach Grundzustand zu
kommen.

Aber in der "Maschine von Dirac" ist der Würfel nicht allein im Raum sonder
verankert in das Gerüst.

Darum muss man nun, ausser der Invarianz in geometrischen
Koordinatetransformation ohne Zeit und "Geschichte", auch Invarianz der
messbaren Variablen in der Transformation fordern

Aber aus der Quantenmechanik folgt, dass wenn ein Elektron um den Winkel 360
Grade "spins", wird seine Wellenfunktion mit der Zahl -1 multipliziert. Also
es geschieht eine Phasenverschiebung von 180 Grade. Aber die
Quantenmechanische Phase der Wellenfunktion ist keine "messbare Variable",
denn

die Energie eine quadratische Funktion von Wellenfunktion ist. Um auch
diesen geschtlichen oder Zeitaspekt, ausser Geometrischen, wahrzunehmen muss
der Würfel zweiten Mal gedreht werden. Darum ist die richtige Drehung 720
Grade statt 360 Grade.

Die Erhaltungsgesetze und Symmetrietransformationen

Jetzt ist es aktuell etwas von Erhaltungsgesetze zu sprechen, denn auch hier
erscheint der Begriff die Phase einer Wellenfunktion

1 Die Invarianz der Quantenmechanischen Phase der Wellenfunktionen
entspricht bekanntlich dem Erhaltungsgesetz von elektrischen Ladung.

2. Die Invarianz der translatorischen Bewegung, also die Homogenität des
Raumes, entspricht der Erhaltung der Bewegungsgrösse p = mv.

3.Die Invarianz der Rotation des Raumes, also die Isotropie des Raumes,
entspricht der Erhaltung des Momentes der Bewegungsgrösse, oder
Impulsmomentes oder Dralls L = p x r = m v x r.

*) Simon L. Altman: Rotations, Quaternions and Doublegroups , Pages 23-24,
Clarendon Press Oxford 1986, ISBN 0-19-855372-2



4.Die Invarianz der Veschiebung der Zeit, also die Homogenitätt der Zeit,
entspricht der Erhaltung der Energie.

Der empirische, automatische Beweis für die Richtigkeit der "Prophetie von
Dirac"

Der Diracsche Würfel wurde zwei volle Drehungen, also 720 Grade, um eine
Achse gedreht wie früher.

Im System ist ganz viel Potentielle Energie aufgeladet worden, vielleicht
doppelt verglichen mit einer Drehung, denn die Gummifäden sind sich mehr
elongiert worden.

Weil man das System als ein Model von Molekül ansehen kann, hat das System
viele Eigenfrequenzen,

die die Nullstellen eines Polynoms, oder Lösungen einer Eigenwertgleichungs
sind.

Wenn man nun dieses System mit einen externem Vibrator stört, die Frquenz
dessen stufenlos hin und her geregelt wird, ist es möglich den Grundzustand
erreichen. Die Gumifäden muss man am Anfang, also vor der Demonstration,
sorgfältig mit Gleitmittel schmieren um die Friktion minimieren.

In Prinzip wäre es auch möglich die Eigenschwingungsmoden akustisch, also
mit dem Schalle, zu erregen.

Wiederspruch mit II Haupgesetz der Thermodynamik?

Die "Diracsche Maschine" mit Gummifaden ist energetisch kompatibel mit I
Hautgesetz auch wenn sie mit dem Vibrator gekoppelt worden ist, denn wenn
ein Zufall geschieht , dass die Frequenz dieselbe ist wie die Eigenfrequenz
oder Resonansfrequenz des Systems, absorbiert das System Energie von dem
Erreger. Es gibt eine analoge Phänomen wie in der Küvette von
Ultrarotspekrophtomter statt, wenn eine Moleküle Strahlung von dem
Strahlbündel absorbiert.

Aber in der "Diracsche Maschine" scheint die Entropie des
"Gummifadenwirrwarrs" grösser zu sein als die Entropie des Endzustandes, 8
gerade Faden, die nur mit einer Weise zuverwirklichen kann.

Gummi aber ist ein seltsames Material, das eine negative
Wärmeausdehnungskoeffizient, genauer Wärmeausdehnungskoeffizient der Länge,
hat. Im Gegenteil z.B. zur meisten Metalle. Hiermit wird Gummi beim
Ausdehnen erwärmt. Die Ursache ist, dass die langen, sich aus
polymerisierten Isoprenmoleküle gebildeten "Gummimoleküle", beim Dehnen sich
strecken und beim Krimpen zur Verwicklung geht.

Die Entropie auf Molekülebene ist ja viel grösser als auf "Makroebene" von
ausgedenten Gummi.

Daneben erwärmt Gummi wenn die latente Wärme von Potentialenergie frei wird
und seinerseits verstärkt das Ereignis.

Was den Zustand nach zwei volle Umdrehungen angeht, repräsentiert dieser
Zustand kein Thermody- namisches Gleichgewicht, sondern einen "Metastabilen
Zustand". Wie z.B. übersättigte Lösung,

untergekühlte Flüssigkeit oder über 100% feuchte Luft, wie in dem Wilsonsche
Nebelkammer.


Die Diracsche Machine und LASER

Wenn man das Wort "Metastabil" trifft, kommt sehr leicht in den Sinn das
Wort LASER.

Hier hat man wirklich Atome, Moleküle oder Ionen gepumpt nach einem
Energiezustand, was auch "metastabil" benannt wird. Hier hindern die
quantenmechnischen Auswahlregeln die spontane Emission von diesem Zustand.
In der "Diracsche Machine" könnte man die beiden manuellen Drehungen.
Anfangs 360 Grade und wieder 360 Grade drehen in derselben Richtung, als
Pumpen bezeichnen.

Hier wird ja die Potentielle Energie an das System verschiebt. Wenn die
Finger nach der ersten Drehung lösen würde und die Ankerung der Würfel auch
los ist, dann rotiert der Würfel natrlich nach Grund-

zustand. Auch natürlich mit dieselben Bedingen nach zweiten Drehung! Beide
"Entladungen" entsprechen "spontane Emission".

Aber nun geschiet erste Drehung wieder und der Würfel wird verankert.
Obgleich wir mit den Vibrator helfen zu versuchen, geschiet es gar nichts.
Die Topologie verbietet nun die Entladung nach Grundzustand. Verankerung
ihrerseits entspricht die verbietende Auswahlregeln.

Nun die zweite Drehung, der Würfel noch verankert. Auch nun geschiet es gar
nichts anfangs.

Aber nun startet man den Vibrator. Es geschieht eine Lavinartige Entladung,
der induzierten oder stimulierten Emission in LASER entspricht. Topologie
könnte nun nicht die Entladung verbieten!

Die ganze potentielle Energie verwandte nun zur Wärme. Also auch beim ersten
Pumpen geladete Energie!

Literatur

Missner, C. W.,Thorne, K. S. And Wheeler, j. A. (1970) Gravitation, Freeman,
San Fracisco

Biedenarn, L. C. And Louck, J. D. (1981), Angular momentum in quantum
physics. Theory and appliation. Addison- Wesley, Reading, Mass

Simon L. Altman: Rotations , Quaternions and Doublegroups, Pages 23-24,
Clarendon Press Oxford 1986, ISBN 0-19-855372-2



..Pekka T. Laakso

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  #2  
Old 08-19-2006, 04:14 PM
Ralf Muschall
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"Pekka T. Laakso" <[Only registered users see links. ]> writes:


Wirklich? Normalerweise sind Riemen asymmetrisch, und die ganzen
Scherkräfte durch Torsion möchte man sicher nicht unbedingt haben.




So ein Spielzeug steht doch nun wirklich in jedem TheoPhy-Institut
herum, oder? Bei uns war es ein Tischtennisball, das Gerüst ein
Würfel aus Holzleisten und verbunden war das ganze mit rotem
Gummifaden (den ich irgendwann mal ausgetauscht habe, deswegen weiß
ich das noch – das schwerste dabei war das Zurechtfinden im
Mädchen^WKurzwarenladen).


Nein, das ist eine klassische Eigenschaft der SO(3).

[Absatz über Vibrator, Gummi und Gleitmittel gelöscht]

Ralf
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  #3  
Old 08-20-2006, 12:01 AM
Hendrik van Hees
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Ralf Muschall wrote:


Bzw. von deren Überlagerung, der SU(2), oder?

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  #4  
Old 08-20-2006, 10:59 AM
Ralf Muschall
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Hendrik van Hees <[Only registered users see links. ].edu> writes:




In der sieht man es besser. Allerdings zeigen geschlossene Kurven in
der SO(3) die interessante Eigenschaft auch schon.

SU(2) ist dann zwar einfach zusammenhängend, aber jeder Drehung
entsprechen zwei mögliche Gruppenelemente, und man braucht doch wieder
die SO(3), um nachzuschlagen, wann eine Bewegungsgeschichte eines
Körpers als Anfangs- und Endpunkt dasselbe SU(2)-Element hat oder
entgegengesetzte (analog dazu ist die Kurve in der SO(3)
zusammenziehbar oder nicht).

Ralf
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