Rotation Wirbelfeld

NG,

ich habe es jetzt fünf und zehnmal gerechnet und ich komme nicht weiter.

Gegeben ist das Vektorfeld \frac{( -y , x )}{x^2+y^2}.

Das Feld hat ganz offensichtlich eine Menge Wirbel, und tatsächlich kommt
für einen bestimmten geschlossenen Weg (Lemniskate) ein Wert ungleich Null
raus. Alles bestens.

Ja und jetzt? Jetzt rechne ich die Rotation aus und da kommt Null raus! Das
würde ja bedeuten, dass für JEDEN geschlossen Weg das Linienintegral auch
Null werden muss, oder? Aber das passt mit meinem ersten Ergebnis nicht
zusammenpassen... ich verstehe die Welt nicht mehr!

HILFE!


jens

"|||jens|||" <[Only registered users see links. ]> schrieb im Newsbeitrag
news:e3kk63$h6o$00$[Only registered users see links. ]...



Aha! Ein anschauliches Beispiel: Das Magnetfeld B um einen geraden Leiter,
das wirbelt um den Leiter herum und trotzdem ist die Rotation null =>
konservativ?

Wenn man sich aber (als magnetisches Etwas) um den Leiter herum bewegt, dann
ist die Arbeit dafür nicht null => nicht konservativ?

Wie löst sich mein Widerspruch?


jens

|||jens||| schrieb:


Ich kenn die Rotation nur für Vektorfelder auf dem R^3.

Allgemein gilt jedoch folgendes:

Wenn das Vektorfeld v konservativ ist, d.h. das Kurvenintegral über alle
geschlossenen, stückweis glatten Kurven verschwindet, dann gelten die
Integrabilitätsbedingungen
d_partiell v_i / d_partiell x_k = d_partiell v_k / d_partiell x_i
für i <> k.

Der Umkehrschluß gilt jedoch nur auf einfachen Gebieten. Der
Definitionsbereich deines Feldes enthält den Punkt (0,0) nicht, ist
also kein einfaches Gebiet. In einem einfachen Gebiet läßt sich jede
geschlossene Kurve stetig zu einem Punkt zusammenziehen, ohne das
Gebiet zu verlassen.

Dein Vektorfeld erfüllt zwar die Integrabilitätsbedingungen, ist jedoch
nicht konservativ.

Gruß
Reiner
--
Einsamkeit ist die Belästigung durch sich selbst.

|||jens||| wrote:


Wo ist also das Problem? ;-))


Keineswegs. Du hast wahrscheinlich ein ungenaues Buch gelesen, das Dich
zu dem Irrtum verleitet, daß für jeden geschlossenen Weg das
Linienintegral 0 werden müsse. Das gilt nur in einfach
zusammenhängenden Räumen. Du hast hier ein ebenes Problem, und das
Vektorfeld ist nur in der "punktierten Ebene" definiert, und die ist
offensichtlich nicht einfach zusammenhängend. Jede geschlossene Kurve,
deren Inneres die Singularität x=y=0 enthält, läßt sich nämlich nicht
stetig zu einem Punkt zusammenziehen.

Jedes Wegintegral entlang einer Kurve das den Ursprung enthält, muß
denselben von 0 verschiedenen Weg ergeben. Daß es derselbe Wert ist,
folgt daraus, daß das Integral entlang jeder geschlossene Kurve, die 0
nicht enthält, selbstverständlich verschwindet.

Wir können auch den Wert der Rotation im verallgemeinerten Sinne, d.h.
unter Zuhilfenahme von Distributionen, ausdrücken, und dann sieht man,
daß die Rotation eben nicht 0 ist.

Die Rotation eines Vektorfeldes F in einem Punkt x ist ja i.a. durch den
Limes

rot F(x)=lim_{"A->x"} 1/A \int_{\partial A} dx' F(x')

definiert. Dabei ist A eine Umgebung von x, und "A->x" soll heißen, daß
man diese Umgebung immer kleiner macht. \partial A ist der Rand der
Fläche, positiv orientiert, d.h. in Deinem Falle der Ebene R^2
konventionsgemäß im Gegenuhrzeigersinne.

Man beachte dabei, daß in der Ebene die Rotation eines Vektorfeldes ein
Skalarfeld ist. Das versteht man auch in der Theorie der
Differentialformen. Da kann man Dein Vektorfeld als 1-Form auffassen,
und die Differentialform dieser 1-Form ist eine 2-Form, und die ist in
2 Dimensionen das Hodgedual eines Skalarfeldes (vgl. mein Skript
"Klassische Vektoranalysis" in der FAQ).

Im gegebenen Falle existiert dieser Grenzwert freilich nicht, wenn man
x=0 setzt, aber man kann eine verallgemeinerte Rotation in Umgebungen
von 0 ausrechnen. In jedem regulären Punkt stimmt diese
verallgemeinerte Funktion mit der gewöhnlichen Rotation überein, ist
also 0, während sie im Ursprung divergiert. Wir erwarten also ein der
Diracdistribution ähnliche Distribution.

Wie oben bereits erwähnt kann man für die Umgebung von 0 eine beliebige
Fläche benutzen. Nehmen wir der Einfachheit halber einen Kreis mit
Radius R. Den Rand können wir durch

K_R: x(lambda)=R(cos(lambda),sin(lambda))

parametrisieren, wo lambda von 0 bis 2 pi läuft (das ergibt dann auch
die richtige Orientierung im Gegenuhrzeiger Sinn). Nun ist

dx'=dx(lambda)/dlamba dlambda=R(-sin(lambda),cos(lambda))

Dein Feld entlang der Kurve ist

F[x(lambda)]=(-sin(lambda),cos(lambda))/R,

und das Integral schließlich

\int_{K_R} dlambda dx(lambda)/dlambda F[x(lambda)]=2 pi

Wie zu erwarten, existiert der gewünschte Grenzwert R->0 nicht.

Da das das Flächenintegral über die "Rotation" sein soll, diese aber in
jedem Punkt außer im Ursprung 0 ist, muß also gelten

rot F(x)=2 pi delta^(2)(x),

denn es soll ja der Stokessche Satz allgemein, also auch für Kurven um
den Ursprung gelten:

\int_A dA "rot F"=\int_{\partial A} dx F(x),

und das muß 0 sein für alle Flächen, die 0 nicht enthalten und 2 pi für
alle Flächen, die 0 enthalten. Also muß gelten

rot F(x)=2 pi \delta^{(2)}(x).

Das wir hier in de.sci.physik sind, können wir die Sache auch
physikalisch deuten (einmal alle Einheitenkonventionen
beiseitegelassen).

Deute das ganze im R^3 und fasse F als statisches Magnetfeld B auf. F
seien x- und y-Komponente des B-Feldes. Dann ist die oben definierte
Rotation im R^2 die z-Komponente der dreidimensionalen Rotation, und
nach der einen Maxwellgleichung sind die Wirbel des B-Feldes gerade die
Ströme.

rot F=j_z,

wo j_z die z-Komponente der Stromdichte ist. In Deinem Falle hast Du
also einen unendlich langen unendlich dünnen Draht entlang der z-Achse,
der einen Strom der Stärke 2 pi führt.





--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
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|||jens||| wrote:


Siehe meine lange Antwort auf Deine Ausgangsaufgabe. Die
(verallgemeinerte) Rotation ist nicht 0, es sei denn Du hast den Strom
ausgeschaltet ;-)).

Dadurch, daß die Magnetkraft auf ein (spinloses) Punktteilchen
geschwindigkeitsabhängig ist

F=q v/c \times B,

die berühmte Lorentzkraft eben.

--
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"Hendrik van Hees" <hees@comp.tamu.edu> schrieb im Newsbeitrag
newsjo7g.19081$iF3.18707@dukeread01...



Und da wären wir wieder beim Greiner, aber der ist nicht schuld.

[...]


Was ist das delta^2(x)? delta^2(0)=0, =1 sonst, mit x als Abstand vom
Ursprung?
Ein "eindimensionaler" Kronecker?
----

Das heißt also, zusammenfassend: Um die allgemeine Rotation berechnen zu
können, musst du wissen, wo sich singuläre Stellen befinden, um die herum
evtl "symmetrische" Wirbel vorhanden sind, soll heißen solche, die sich rein
wirbeltechnisch im restlichen Raum nicht bemerkbar machen. Wenn du sie
findest, solltest du einmal herumlaufen und dann nachschauen, ob in der
Küche das Licht noch brennt?

Danke für die umfangreiche und Licht spendende Antwort!


jens

"|||jens|||" <[Only registered users see links. ]> schrieb im Newsbeitrag
news:e3lan8$kih$03$[Only registered users see links. ]...


Wenn dann andersrum du Schlaumeier!

|||jens||| wrote:


Das ist die Diracsche Deltadistribution in zwei Dimensionen. In
kartesischen Koordinaten gilt

\delta^{(2)}(x)=delta(x1) delta(x2)


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Moin,

|||jens||| schrub:


Anschaulich: Es gibt manchmal Wirbel an Flüssen, insbesondere wenn da
in Kurven Bunen(?) also Steinwälle in den Fluß gelegt wurden, um die
Erosion der Landschaft zu verhindern. Aber ein überdimensionaler
Badewannenwirbel tut's auch:
Schmeißt man in so einen Strömung einen Korken rein, der sagen wir in
Nord-Süd-Richtung ausgerichtet ist, dann wird er allmählich um das
Zentrum des Wirbels kreisen, sich dabei selbst aber nicht drehen. Die
Ausrichtung des Korkens bleibt immer die gleiche. Und dennoch
beschreibt der Korken eine Kreisbahn. Funktioniert wunderbar - eben
bis auf die Stelle des Zentrums des Wirbels. Da dreht sich der Korken
ganz schnell. Aber nur da eben.

CU Rollo

"Roland Damm" <[Only registered users see links. ]> schrieb im Newsbeitrag
news:445e6175$0$11074$[Only registered users see links. ]...


Und wie ich gerade lese ist das Dirac-Delta der Korken.

Mit solchen Bildern im Kopf wird das Büffeln zum Vergnügen.


jens