Rotation Wirbelfeld

|||jens||| schrieb:

Das Feld hat die Form

A = (- y dx + x dy) /(x^2 + y^2)

In Polarkoordinaten

x = r cos phi y = r sin phi

dx = dr cos phi - r sin phi dphi
dy = dr sin phi + r cos phi dphi

verbleibt

A =1/r^2 (- r sin phi (dr cos phi - r sin phi dphi))
+ 1/r^2 r cos phi (dr sin phi + r cos phi dphi))
= dphi

Das Differential des Winkels phi=arctan(x,y) ist als Vektorfeld in der
Ebene lokal rotationsfrei und wegen Hodge *dphi = <dphi, r dr dphi > =
dr/r auch divergenzfrei. Jedes geschlosse Wegintegral
N = Int_C dphi
zählt die Windungszahl der Kurve C um den Urspung.

Dort ist nämlich dphi nicht definierbar, r=0 muss also aus dem
Definitionsbereich ausgeschlossen werden und damit verschwindet die
Arbeit auf einem geschlossenen Weg gegen ein lokal rotationsfreies Feld
nur dann, wenn der Weg den Urspung nicht umfasst. Lokal ist phi(x,y) ein
Potential, aber nicht global.




??

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Roland Franzius