Freiheitsgrade bei Rotation

Mark Henning schrieb:

Nimm einen rechteckigen Klotz. Jetzt bohre längs durch die Mittelachse
einen Tunnel der komplett durchgeht. Dies ist die Führung für Deine
x-Achse. Jetz bohrst Du genau senkrecht, mittig dazu einen zweiten
Tunnel. Dieser zweite Tunnel ist die Führung für Deine Y-Achse.

Steckst Du einen Stab durch den ersten Tunnel kannst Du um diesen Stab
deinen Klotz um die X-Achse rotieren lassen. Das ist der erste
Freiheitsgrad der Rotation.

Steckst Du einen Stab durch den zweiten Tunnel kannst Du um diesen Stab
deinen Klotz um die Y-Achse rotieren lassen. Das ist der zweite
Freiheitsgrad der Rotation.

Bisher kannst Du Deinen Klotz nur um die Achsen, die eine
zweidimensionale Ebene aufspannen rotieren lassen. Deshalb bohrst Du
noch einen dritten Tunnel der senkrecht auf den beiden anderen steht.

Steckst Du hier einen Stab durch, kannst Du Deinen Klotz nun auch um die
Z-Achse rotieren lassen und bekommst den dritten Freiheitsgrad.

Alle Drei sind unabhängig voneinander. Jede beliebige Rotation in 3-D
lässt sich als Kombination der drei oben beschriebenen Rotationen
darstellen.

Es lässt sich zeigen das noch unendlich viele verschiedene
Koordinatensysteme existieren, die von unserem verschieden sind, die
aber genauso alle möglichen Drehbewegungen beschreiben können. Das wäre
in etwa so, als ob Du die Löcher in Deinem Klotz um den Winkel alpah
gedreht Schräg bohren würdest. Das neue Koordinatensystem X',Y',Z' ist
um den Winkel alpha gegenüber X,Y,Z gedreht. Dieses System beschreibt
jedoch genauso gut alle anderen Beewegungen usw.

Streng genommen benötigst Du drei Winkel um alle anderen Systeme aus dem
Grundsystem zu transformieren. Es sind. die sog. Eulerschen Winkel.

MFG Stefan

Mark Henning schrieb:

MEINE Theorie dazu:
Der Freiheitsgrad ist die z-Rotationsachse, nicht der Rotationswinkel alpha.
Bei der Translation ist ja auch die bewegungsRICHTUNG x der
Freiheitsgrad und nicht die Strecke s, um die der Körper bewegt wird!
Also: z ist der Freiheitsgrad, alpha nur die "Maßeinheit".
Beim Spin ist s der Freiheitsgrad, -1/2 oder +1/2 die Werte, die er
(beim Elektron!) haben kann. Bei anderen Teilchen kann s ja noch ganz
andere Werte haben. Also: Ein Freiheitsgrad (analog einer "s-Achse").

Gruß Michael

Mark Henning wrote:


In deinem Beispiel ist der Freiheitsgrad nicht das Vorzeichen, sondern
die Drehung im Eigenzustandsraum. Das VZ ist nur ein "Symptom" der
diskreten Zustaende (fuer Bosonen gibt's z.B. auch noch die Moeglichkeit
"0", also kein VZ).

Eine aequivalente Betrachtung zu deiner Frage waere ein Koerper, der
sich z.B. nur in 180-Grad-Schritten drehen laesst - die Freiheitsgrade
waeren immer noch die Raumachsen (xyz), aber die Rotation waere in so
einem Fall (analog zu Spins) quantisiert (0/180 - oder wenn du so willst
auch +/-).

HTH,
Dirk

Mark Henning <[Only registered users see links. ]> wrote:



So wird das in der Regel nicht gezaehlt. Freiheitsgrade zaehlt man
als Anzahl Parameter minus Anzahl Nebenbedingungen. Hier also 4
reelle Parameter minus eine reelle Normierungsbedingung, macht 3
reelle Freiheitsgrade.

Alternativ kann man auch alpha in den Vektor stecken, indem man den
Einheitsvektor <x,y,z> mit dem Skalar alpha multipliziert.


Erstens weil stillschweigend hier "kontinuierlicher Freiheitsgrad"
gemeint war, wo nur von "Freiheitsgrad" geredet wurde. Ein Vorzeichen
ist kein kontinuierlicher Freiheitsgrad.

Zweitens wirst du bei genauerer Betrachtung sehen, dass fuer die
Vorzeichen aller 4 Variablen nur 2^3 = 8 Kombinationen wirklich
verschieden sind, denn

<x,y,z>,alpha
<-x,-y,-z>,-alpha

bezeichnen die exakt gleiche Rotation. Sprich, du kannst das
Vorzeichen von z in denen von x, y und alpha aufsaugen.

--
Hans-Bernhard Broeker ([Only registered users see links. ]-aachen.de)
Even if all the snow were burnt, ashes would remain.

Mark Henning <[Only registered users see links. ]> wrote:



Nein. Das sind genau 2 kontinuierliche Freiheitsgrade. Das koennen
z.B. die altbekannten Winkel aus den mathematischen Kugelkoordinaten,
oder geographische Laenge und Breite sein.

Wenn man das *richtig* korrekt machen will, muss man sich in Topologie
einarbeiten, wo einem dann Betriffe wie Mannigfaltigkeit um die Ohren
gehauen werden. In diesem Kontext praezisiert sich dann "<n>
kontinuierliche Freiheitsgrade" zu "n-dimensionale Mannigfaltigkeit".

--
Hans-Bernhard Broeker ([Only registered users see links. ]-aachen.de)
Even if all the snow were burnt, ashes would remain.