Selbstenergien in der QED

* Hans-Bernhard Broeker schreibt zur Renormierung


Es gibt mathematisch befriedigendere Arten, mit den Divergenzen von
Quantenfeldtheorie umzugehen.

Zunächst einmal muß man genau prüfen, wie man denn eigentlich die
Feynmangraphen hergeleitet hat. Man stellt nach kurzer Probe fest,
daß sie auf einem formalen Ausdruck für die S-Matrix

S = " T exp i Integral d^4 x L_int(x) "

und dem Wickschen Theorem beruhen, daß das zeitgeordnete Produkt
lokaler Felder gleich der Summe über alle Kontraktionen des
normalgeordneten Produktes ist.

Genauer bedacht ist aber der Ausdruck für S

S = T ( 1 + i Integral d^4 x L_int(x)

- 1/2 Integral d^4 x L_int(x) Integral d^4 y L_int(y) + ...

nicht abgeleitet für Orte x=y, wie sie als Untermenge vom Maß Null
im quadratischen Term und den weiteren Termen auftreten. Ebenso gilt
das Wicksche Theorem nicht für zusammenfallende Argumente x=y, denn
dort ist das zeitgeordnete Produkt T phi(x) phi(x) nicht definiert.

Alle Divergenzen der Quantenfeldtheorie treten stammen von solchen
Produkten lokaler Felder am gleichen Ort.

In einem Verfahren, das von Bogoliubov, Parasiuk, Hepp, Zimmermann und
Lowenstein stammt, werden die Feynmangraphen gleich so definiert, daß
alle Quantenkorrekturen endlich sind. Darüber hinaus ist an dem
Verfahren angenehm, daß in jeder Ordnung Störungstheorie die Masse
gleich der physikalischen Masse und die Kopplungsstärke gleich der
physikalischen Kopplungsstärke ist.

Leider ist das BPHZL-Verfahren algebraisch aufwendig und wird von
Praktikern gescheut -- es sei denn, sie wollen etwas wirklich sicher
(zum Beispiel die chirale Anomalie) und nicht nur als erste ausrechnen.

--
Aberglaube bringt Unglück

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Moin,

Hans-Bernhard Broeker hat geschrieben:


Dazu mal eine Anfängerfrage: Also erstmal erscheint es mit
merkwürdig, wie man eine unendliche Masse dadurch wegbekommt, das
man noch weitere Sachen dazupackt. Aber sei es drum, ich hatte das
populärwissenschaftlich mal so verstanden, daß virtuelle Teilchen
(als Gedankenmodell) helfen, diese unendlichkeiten zu verbergen.
Warum dann ist es so, daß diese Bindung so perfekt funktioniert,
daß z.B. Elektronen ihre Masse auch bei den höchsten Energieen IMO
nicht ändern? Irgendwann müßten sie doch ihre virtuellen Verfolger
abschütteln.

Ist das jetzt falsch oder völlig falsch gedacht?

CU Rollo

Roland Damm <[Only registered users see links. ]> wrote:


Auf dem ausdruecklich niedrig gehaltenen Level, auf dem ich das hier
zu halten versucht hatte, ist QFT leider unweigerlich durch und durch
merkwuerdig.

Grob gesagt, die Sachen, die man "dazupackt" werden zur Definition des
umgebenden Raums und seiner Eigenschaften dazugepackt, nicht zum
Elektron selbst. Es ist also nicht so wahnsinnig verblueffend, dass
dass sie das Elektron nicht etwa schwerer, sondern leichter machen ---
sie "helfen" ihm sozusagen, sich zu bewegen.

Man kennt diesen Effekt auch in der Festkoerperphysik, als "effektive
Masse" eines Elektrons oder Lochs, das sich im Festkoerper-Gitter
bewegt --- auch die haben zahlenmaessig wenig mit den konventionellen
511 keV/c^2 eines Elektrons zu tun.


Das bezieht sich auf die Ladung des Elektrons --- auch davon ist der
"nackte" Wert unendlich.


"Bei hoechsten Energien" ist ein relativer Ausdruck --- was aus dem
ruhenden Laborsystem wie ein verflixt hochenergetisches Elektron
aussieht, sieht ein mitfliegender Beobachter als ganz normales,
niederenergetisches Teilchen. Hohe Energie des Elektrons an und fuer
sich heisst also nichts.

Wenn man aber absolut gesehen hohe Energien in Spiel bringt, also das
schnelle Elektronen ordentlich mit einem anderen kollidieren laesst,
was aus jedem Bezugssystem betrachtet den gleichen Effekt haben
sollte, dann ist es eben gerade nicht so, dass sich Masse und (vor
allem) Ladung nicht aendern wuerden.

Wenn man mit wirklich hohen Energien, so dass man sehr nah an das
Elektron rankommt, genau nachschaut, kann man den Uebergang vom
"angezogenen" zum "nackten" Elektron stufenlos mitverfolgen. Wie
dieser Uebergang aussieht, erklaert einem dann die
Renormierungstheorie.

--
Hans-Bernhard Broeker ([Only registered users see links. ]-aachen.de)
Even if all the snow were burnt, ashes would remain.

Hans-Bernhard Broeker wrote:


Das mit dem Raum verstehe ich nicht. Bei der Renormierung werden Felder,
Kopplungskonstanten und Massen renormiert. Es ist egal, ob Divergenzen
auftreten oder nicht, Du mußt immer renormieren.

In der QFT hat das Renormieren den nützlichen Nebeneffekt, daß diese
Prozedur auch die Divergenzen von Integralen beseitigt, die deshalb
auftreten, weil die Feldoperatoren operatorwertige Distributionen sind
und man diese eigentlich nicht so ohne weiteres miteinander
multiplizieren darf. Insbesondere sind Operatorprodukte von
Feldoperatoren mit gleichem Raumzeitargument nicht wohldefiniert. Das
erkennt man z.B. schon an den kanonischen Vertauschungsrelationen
zwischen einem Feldoperator phi und seinem kanonischen Impuls Pi. Die
"gleichzeitigen" Vertauschungsrelationen lauten bekanntlich

[phi(t,\vec{x}),Pi(t,\vec{y})]=i \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}).

Betreibt man nun Störungstheorie, kann man sich auch ein einfaches
physikalisches Bild für das Renormieren machen. Man beginnt mit freien
Quantenfeldern (nehmen wir als Beispiel die QED und die Selbstenergie
des Elektrons), d.h. z.B. einem Elektron, wobei man die Ladung und die
Kopplung ans elektromagnetische Feld zunächst völlig vernachlässigt.

Rechnet man jetzt die Einschleifenselbstenergie aus, berücksichtigt man
die Wechselwirkung des Elektrons mit seinem eigenen Strahlungsfeld. Das
vorherige Kunstprodukt der Phantasie, das sog. nackte Elektron, hat
also nun sein em. Feld um sich, und das ändert seine Masse um einen
unendlichen Betrag, was natürlich Unsinn ist und mit den obigen
mathematischen Schwierigkeiten von Feldoperatoren zusammenhängt.

Die Elektronen in der Natur haben aber mitsamt ihrer Ladung und ihrem
Feld eine bestimmte Masse (511 keV/c^2). Die Masse des "nackten"
Elektrons kann man nie messen, weil es in der Natur keine nackten
Elektronen gibt. Drückt man nun die Theorie nicht durch die nackten
Massen sondern die physikalischen endlichen Massen aus, ist alles
endlich.

Formal erkennt man das am besten im sog. BPHZ-Formalismus. Zu jedem
Schleifenintegral gibt es einen Counterterm, also einen punktförmigen
Vertex, dessen Addition zum Diagramm der Renormierung des
Schleifenintegrals bewirkt.

Hat man kompliziertere Diagramme mit mehr Schleifen, muß man sich nur
von "innen" nach "außen" arbeiten und zunächst alle
Subschleifendiagramme renormieren. Ganz zum Schluß renormiert man dann
noch das äußere Diagramm selbst (vgl. mein QFT-Skript auf meiner
Webpage).

Durch dieses Verfahren werden auch verwickelte Probleme mit sog.
überlappenden Divergenzen (overlapping divergences, ich habe einfach
mal wörtlich übersetzt ;-)) von selbst gelöst. Das beseitigt einen
Fehler im alten Beweis von Dyson, daß die QED renormierbar ist.

Eine Theorie heißt dabei renormierbar, wenn man nur eine endliche Anzahl
von Parametern benötigt, um genügend Counterterme einführen zu können,
um die Theorie endlich zu machen.

Das BPHZ-Verfahren hat auch noch den Vorteil, daß man keine
"Regularisierung" einführen muß, was manchmal problematisch ist. In der
Störungsrechnung ist die bequemste Regularisierung ja die sog.
dimensionale Regularisierung. Die macht aber Ärger, wenn man chirale
Symmetrien hat und Anomalien auftreten können. Dann muß man
Extravorschriften erfinden, die z.B. mit der gamma_5-Matrix (in vier
Dimensionen) zu tun haben, so daß man die Anomalie dem richtigen Strom
zuschiebt, so daß etwa eine Eichinvarianz nicht verletzt wird etc.

Für die Renormierbarkeit der QED (oder deren Verallgemeinerung zu
nichtabelschen Eichtheorien, auf denen das Standardmodell der
Elementarteilchne beruht) ist noch die unterliegende Eichsymmetrie von
eminent wichtiger Bedeutung.

Betrachtet wir z.B. den Vierphotonenvertex. Für diesen gibt es keine
eichinvariante Punktkopplung mit nichtnegativer Dimension, also keinen
oberflächlich renormierbaren Term. Wir dürfen also keine Counterterme
für einen solchen Vertex einführen, denn sonst würde die QED sicher
nicht renormierbar.

Andererseits gibt es aber Vierphotonenvertizes. Das einfachste Diagramm
ist ein sog. "Boxdiagramm", d.h. da laufen vier Photonenprogagatoren
um, und wenn man den oberflächlichen Divergenzgrad ausrechnet hat hat
man 4 (eine Schleife)- 4*1 (vier Elektronenpropagatoren), also

\delta(Box)=0,

so daß das Boxdiagramm also oberflächlich logarithmisch divergent ist.
Addiert man aber nun alle Diagramme dieser Art in derselben Loopordnung
zusammen (zwei Boxdiagramme im Einschleifenfalle), fallen die
Divergenzen heraus, was auf Ward-Takahashi-Identitäten beruht, die
Folge der Eichinvarianz sind (vgl. mein Skript).


Hierbei handelt es sich um "Mediummodifikationen". Das sind stets
endliche Effekte, nachdem man die Vakuumdivergenzen abgezogen hat. Auch
das Photon erhält z.B. eine Debysche Abschirmmasse (screening mass),
aber das zerstört weder die Renormierbarkeit noch die Eichsymmetrie.
Mediumanteile von Feynmandiagrammen sind endlich und dürfen auch nicht
renormiert werden, weil man sonst zustandsabhängige (z.B.
temperaturabhängige) Counterterme einführen würde.


Yep, man kann dann die Renormierungsgruppe benutzen, um die
Störungstheorie zu verbessern. Bei hohen Energien bricht die
Störungstheorie der QED nämlich zusammen, weil die renormierten
Ladungen groß werden. "Schuld" sind die Logarithmen, die beim
Renormieren unweigerlich auftreten und eine Renormierungsskala
beinhalten. Werden dann die Energien groß gegen diese Skala werden die
Logarithmen auch groß (zum Glück aber eben nur logarithmisch), und man
tut gut daran, das Renormierungschema zu ändern und bei einer anderen
Energieskala zu renormieren. Wie sich dabei die renormierte Kopplung
ändert, kann man über die sog. Renormierungsgruppengleichung
ausrechnen. Dabei kommt die Renormierungsgruppengleichung aus der
Forderung, daß sich physikalische Resultate (Wirkungsquerschnitte etc.)
nicht ändern dürfen, wenn man die Renormierungsvorschrift ändert (was
exakt natürlich nur für die volle Theorie zu allen Ordnungen
Störungstheorie der Fall ist). Löst man diese Gleichung, sagt sie
einem, wie sich die renormierte Kopplung ändert, wenn man bei einer
anderen Energieskala renormiert.

Bei der QED ist es so, daß eine Erhöhung der Energieskala die
renormierte Kopplung größer macht. Im Bild mit "virtuellen
Teilchen" (das man aber nicht überstrapazieren sollte), heißt das, daß
die Quantenfluktuationen aus Elektron-Positronpaaren (und anderer
geladener Teilchen!) die Ladung des Elektrons abschirmen. Betrachtet
man Elektronenstöße bei höheren Energien wird daher die effektive
Kopplung größer.

Der bekannte Wert \alpha=1/137 für die em. Feinstrukturkonstante
entspricht dem Wert der Ladung bei kleinen Energieskalen, wie sie für
die Atomphysik relevant sind. Betrachtet man Elektronen in der Gegend
der Masse des Z-Bosons (Austauschteilchen der schwachen
Welchselwirkung) M_Z \approx 90 GeV, findet man in Übereinstimmung mit
dem Experiment \alpha(M_Z)=1/128.

--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
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Hans-Bernhard Broeker wrote:


Nein. Auch im Limes beliebig hohen Energien sind
beobachtbare Elektronen nie nackt.

Ich habe alles wichtige zur Renormierung auf m"oglichst elementaren
Niveau ausf"uhrlich in meinem theoretical physics FAQ auf
[Only registered users see links. ]
beschrieben.

Die nackten Unendlichkeiten ergeben sich "ahnlich wie das nackte
n=inf in der Definition von
exp x = lim_{n to inf} (1+x/n)^n.
Sie sind reine Artifakte eines Grenzprozesses, der n"otig ist, um die
Lorentzinvariante Theorie zu definieren. Im grenzwert ist alles endlich,
und nur das z'ahlt, ob man Exponentialfunktionen ausrechnen will oder
S-Matrizen (auch nur eine Art Exponentialfunktion, nur in einem
wesentlich komplexeren Sinn).


Arnold Neumaier

Hans-Bernhard Broeker wrote:

Das sieht so aus als ob die Unendlichkeit dadurch verschwindet, dass die Energiedichte
eines E-Feldes bei hohen Feldstaerken nicht mehr mit dem Quadrat der Feldstaerke geht,
sozusagen durch Vakuumpolarisation.


--
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