Motivation für Minkowskikordinaten

Hallo NG,

in der RT gilt bekanntlich für das Linienelement
ds²=(c*dt)²-dx², was man z.B. über den Minkowski-4er-Vektor mit
imaginärer Zeitachse ct erhalten kann. In der euklidischen Geometrie
ist ds² ja ein Maß für die Messung von Abständen bei infinitesimale
Verschiebungen, aber wie kann man sich das in der RT anschaulich
erklären? Irgendwie finde ich in der Literatur nie eine Erklärung,
sondern einfach nur die Anwendung.

Ich habe mal folgende Überlegungen angestellt:
1. Bleibt ein Objekte am selben Ort, dann hat es sich nur in der Zeit
"fortbewegt", also ds²>0, da dt>0 und dx=0.

2. Bewegt sich ein Objekte v, dann könnte man dx² durch v²*dt²
ersetzen, und man erkennt, dass mit steigendem v ds² immer kleiner
wird. Das würde gut zur Längenkontraktion in Bewegungsrichtung passen,
und mit v=c würde es auch zum Licht passen, wo ja für das Photon
während seiner Bewegung keine Zeit vergeht.
Weiterhin sieht man, dass v nicht grösser als c werden kann, denn
sonst würde ds²<0. Man kann also in dt max. nur räumliche Strecken der
Länge c*dt zurücklegen.

3. dt=0 und dx!=0 verbietet sich natürlich (1 Objekt an zwei versch.
Orten zur gleichen Zeit?) und erkennbar aus der Gleichung für ds².


Kann jemand mal darübernachdenken, ob man das so sehen kann, und wenn
ja, wie kann man logisch die Motivation für eine imaginäre Zeitachse
bei Minkowskikoordinaten erklären, ohne dass man das Ergebnis in ds²
als gewünscht erreichen will? Also nicht die Richtung "Ich weiß, was
ich brauche (namlich ds² in der Form), und bastle mir entsprechende
Koordinaten", sondern anders herum.

MfG
Andreas

Reginald Bull fragt:


Vielleicht helfen dir relativistische Wellenfunktionen für ein Verständnis
(Klein Gordon,Dirac)

K.R.

Reginald Bull schrieb:
Eine detaillierte und anschauliche Ausformulierung dieser
Interpretation findest du bei Lewis C. Epstein, 'Relativitätstheorie
anschaulich dargestellt'.

Man will, dass der Abstand, also das Linienelement lorentzinvariant
(also unabhängig vom Beobachter) ist. Dies ist nicht der Fall, wenn du
sowohl die Zeit als auch den Raumabstand mit einem positiven Vorzeichen
einsetzest.

Reginald Bull wrote:

Eigenzeit...

Wenn Du eine Uhr auf einer Weltlinie \gamma: [t0,t1] -> R^4
(ein Weg im R^4) mitfuehrst,
so zeigt sie zwischen den Ereignissen \gamma(t0) und \gamma(t1) die Zeit

\int_\gamma ds

an.

MfG

Andreas

Reginald Bull <[Only registered users see links. ]> wrote:


Das ist allerdings nicht unbedingt die einfachste Methode, da hin zu
kommen.


Nicht nur fuer infinitesimale, sondern fuer alle. Es ist schlicht die
Definition von "Abstand" in einem zunaechst mal abstrakt definierten
Raum (mathematisch: die "Metrik"). Dass sich dieser Abstand mit dem
Verhalten von Abstaenden deckt, die man im Alltag mit dem Lineal
misst, haben die Herren Euklid, Pythagoras und Descartes absichtlich
so hingefummelt.


Was "anschaulich" ist, ist laengst nicht so klar, wie es nahezu alle
Leute, die nach sowas fragen, stillschweigend voraussetzen. Jeder
Mensch hat seine eigene Anschauung, die sich nicht zuletzt durch
eifriges Lernen jederzeit entscheidend aendern kann.

Mir persoenlich ist das ganze voellig anschaulich geworden, als unser
Prof in linearer Algebra ganz am Rande mal so fallen liess, dass eine
Bilinearform mit der Diagonale (-1,1,1,1) ja "bekanntlich in der SRT
benutzt wird."


Genau. ds^2 > 0 nennt man daher auch "zeitartigen Abstand". Immer,
wenn zwei Ereignisse einen solchen Abstand haben, gibt es einen
ausgezeichneten Beobachter, fuer den die beiden im Zeit-Abstand dt =
sqrt(ds^2) nacheinander genau vor seiner Nase liegen.


Nein, tun sie durchaus nicht --- weil die Formel auch ganz allgemein
fuer "relativistische Abstaende" verschiedener Objekte bzw. Ereignisse
gilt. ds^2 < 0 drueckt raumartige Abstaende aus. Im besonderen gibt
es in diesem Fall immer ein Bezugssystem, in dem die beiden Ereignisse
gleichzeitig, aber eben an verschiedenen Orten stattfinden --- im rein
raeumlichen Abstand dx = sqrt(-ds^2).

--
Hans-Bernhard Broeker ([Only registered users see links. ]-aachen.de)
Even if all the snow were burnt, ashes would remain.

* Reginald Bull schreibt


[Only registered users see links. ]

--
Aberglaube bringt Unglück

[Only registered users see links. ]

Reginald Bull wrote:

auch wenn es schon teilweise erwähnt wurde, aber nochmal zusammenfassend:

1.) es geht hier um den Abstand zweier "Ereignisse", nicht zweier
"Raumpunkte" oder so.

2.) um den Begriff des "Abstandes" zweier Ereignisse zu begreifen hilft
die ebenfalls bereits beschriebene Unterscheidung in zeitartig (s^2>0),
raumartig (s^2<0) und lichtartig (s^2=0) voneinander entfernter
Ereignisse (ich habe hier nicht die infinitesimalen abstände benutzt,
obwohl es keinen unterschied macht). Man beachte insbesondere dass der
Betrag des raumzeitlichen Abstandes nicht zwingend positiv ist wie im
euklidischen raum. sind zwei ereignisse zeitartig, so gibt es zwischen
ihnen kausalen zusammenhang. sind sie raumartig, sind sie kausal nicht
miteinander verbunden. Zeitartig voneinander entfernte ereignisse sind
gerade so "weit" (zeitlich und räumlich) voneinander entfernt, dass nur
ein lichtstrahl die beiden verbinden kann.

Gruß,
Stephan

letzteres funktioniert leider nicht. auch die idee mit der imaginären
zeitachse wird heute eigentlich in modernen lehrbüchern nicht mehr
verwendet. man muss einfach akzeptieren dass unser (flacher) Raum nunmal
einer minkowski-geometrie gehorcht. und in ihr wird die zeit
gewissermaßen positiv, der raum gewissermaßen negativ gezählt. Natürlich
ist das in gewisserweise unbefriedigend weil man gerne hätte dass keine
der koordinaten irgendwie ausgezeichnet ist, aber eine halbwegs
befriedigende antwort könnte lauten:
Wir sind nunmal Wesen, die IN DER ZEIT leben, dass heißt, deren
weltlinien immer zeitartige Tangentialvektoren haben. unsere
vierergeschwindigkeit zeigt nunmal ausgezeichnet in eine
koordinatenrichtung, nämlich der Zeit. Daher spielt die zeitkoordinate
für uns eine ausgezeichnete rolle. also kann man auch akzeptieren dass
in der minkowskigeometrie raum und zeit unterschiedlich in der
abstandsdefinition auftaucht.

Beste relativistische Grüße,

Stephan

Hallo,

Norbert Dragon wrote:

Dazu passt dann auch node27 mit der hyperbolischen Gleichung und den
Aussagen in der Antwort von Andreas Slateff bezüglich der Eigenzeit!?

Trotzdem beantwortet es nicht unbedingt die Einführung einer imaginären
Zeitachse, da es ja auch die Definition über ds^2=g_ij*dx^i*dx^j gibt.
Klingt für mich wie "Reverse Engineering", um auch über das
Skalarprodukt des 4-Vektors auf das "naturgegebene" Resultat zu kommen.

MfG
Andreas

Hallo,

Stephan Schiffels wrote:

Ok, bei Minkowski geht es um Ereignisse, aber wird daraus nicht später
trotzdem die Metrik des Raumes?



Aber ist ein Abstand nicht etwas, das auf eine Metrik hinarbeitet? Alle
Definitionen, die ich kenne für Metriken und Abstände, sind aber positiv
definit, so dass negative Werte nicht erlaubt sind. Mit dem negativen
raumartigen Abstandsquadrat in R^4 erhielte ich aber für zwei Punkte im
R^3 einen imaginären Wert! Sollte man das wirklich erlauben, und wie
kann man dann die RT im Grenzfall auf die Newtonsche Mechanik mit
euklidischer Geometrie reduzieren?

MfG
Andreas