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Massendimension, QED

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  #1  
Old 01-22-2005, 02:31 PM
Guido Donath
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Guten Tag,

Ich habe eine Frage zur Berechnung der Massendimension einer Kopplung.
Mit ist soweit klar, dass man mit der Verständigung, natürliche
Einheiten zu verwenden, die Lichtgeschwindigkeit und die Planckzahl
(d.h. die Wirkung) dimensionslos bekommt und somit alle anderen Größen
in Porenzen der Masse darstellen kann:

[Größe] = [m]^D, D = Massendimension.

Um dann die Dimension der Kopplingskonstanze auszurechenen, könnte man
zum Beispiel ansetzen(Feldtheorie in D Dimensionen):

L = D = - g * Psi_quer * gamma^m* Psi * A_m

Das Ausrechnen ist mir dann klar, aber wieso ist L = D?

Schliesslich ist doch die Wirkung dimensionslos, also hat man:

S = Int {d^Dx * L}

Wenn jetzt L die dimension D hat und ich D-mal integriere, dann hat S
doch die Dimension D+1 und ist nicht dimensionslos...mhmm

Gruss,

Guido
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  #2  
Old 01-24-2005, 02:37 AM
Hendrik van Hees
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Guido Donath wrote:


Die Wirkung ist über die Lagrangedichte L definiert. Da Du gottgegebene
Einheiten verwendest (\hbar=c=1), ist die Wirkung dimensionslos, d.h.
die Lagrangedichte hat die Dimension 1/L^D=m^D.

Die Lagrangedichten für freie Felder folgen aus der Darstellungstheorie
der Poincaregruppe (vgl. Weinberg, Quantum Theory of Fields). Nehmen
wir als einfachstes Beispiel ein Feld mit Spin 0. Dann lautet die
Lagrangedichte notwendig (ich benutze die (+---)-Metrik, Weinberg die
(---+)-Metrik, sorry, aber sonst komme ich durcheinander beim
Schreiben ;-)):

L=1/2 \partial_{mu} phi \partial^{\mu} phi - m^2/2 phi^2

Daraus folgt sofort die Dimension des Spin-0-Feldes:

m^D = m^2 [phi^2] => [phi]=m^{(D-2)/2}

Für ein Spin-1/2-Teilchen folgt hingegen aus

L= \bar{psi} \slash{\partial} psi+...

[psi^2] m=m^D, also [psi]=m^{(D-1)/2}

Diese ganze Rechnerei ist ziemlich einfach. Man bekommt auf die Art auch
die Dimension der Kopplungskonstanten heraus.

Diese ganze Dimensionsbetrachtung wird bei der Theorie der Renormierung
noch sehr wichtig, man sollte sie sich also gut angucken!

--
Hendrik van Hees Cyclotron Institute
Phone: +1 979/845-1411 Texas A&M University
Fax: +1 979/845-1899 Cyclotron Institute, MS-3366
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  #3  
Old 01-24-2005, 03:33 PM
Guido Donath
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On Sun, 23 Jan 2005 20:37:17 -0600, Hendrik van Hees
<[Only registered users see links. ].edu> wrote:



Genau das war meine Frage. Das sehe ich irgendwie nicht. Die Wirkung
ist definiert als
S = Int {d^Dx*L}
Die Frage ist: Welche Dimension hat L?
Wieso ist denn 1/L^D = m^D.

Ich stelle mir das ganz naiv vor. Wenn ich eine Fläche ausrechnen
will, schreibe ich bespielsweise F = Int{x*dx} = 1/2x^2
Also ist die Dimension des Integrals = 2, die Dimension des
Integranden war 1 und die des Inkrementes ebenso 1.

Also müsste ich bei dem Integral
S = Int {x^D*L] doch eigentlich haben L = -D, damit die Wirkung
dimensionslos ist?



Wenn - wie du oben schreibst, gilt: 1/L^D = m^D, heisst das ja, dass
die Dimension von L = -D ist, sprich [L] = -D, dann sollte aber auf
der linken Seite der Gleichung m^{-D} stehen, oder?


wie gesagt, das eigentlich ausrechnen ist mir klar, ist ja nur
abzählen von potenzen. mit der dimension der lagrangedichte komm ich
irgendwie nicht klar.

grüsse,

guido
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  #4  
Old 01-24-2005, 03:38 PM
Kronberger Reinhard
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Verwechsel sie da nicht Birnen und Zwetschgen ?

Dimensionslos im Sinne von Einheitenlos
und dimensionslos im Sinne von geometrischer Dimension ?

K.R.


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  #5  
Old 01-24-2005, 04:17 PM
Guido Donath
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On Mon, 24 Jan 2005 16:38:56 +0100, "Kronberger Reinhard"
<[Only registered users see links. ]> wrote:


möglich, deswegen frage ich ja ;-)


nunja, nur wenn die in der richtigen dimension (also potenz)
vorkommen, kürzen sie sich ja weg... oder wieder birnen und
zwetschgen?

guido
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  #6  
Old 01-24-2005, 08:17 PM
Hendrik van Hees
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Guido Donath wrote:



Nimm z.B. das Pfadintegral:

Z[J]=\int D phi exp[i S[phi]+i \int d^D x J(x) phi(x)]

Das ist nur ein sinnvoller Ausdruck, wenn S[phi] dimensionslos ist.

Sorry, ich habe verwirrenderweise L als Längendimension eingeführt. Es
muß also heißen:

[S]=1/Länge^D=Masse^D

In gottegegebenen Einheiten ist

[\hbar]=[Länge Impuls]=[Energie Zeit]=1 und [Länge]=[Zeit], also
[Energie]=1/[Länge].


--
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massendimension , qed


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