QED, Bispinore

hallo,

warum bezeichnet man die lösungen der dirac-gleichung als "bispinore" und
nicht etwa als vierkomponentige vektoren.
hängt das ausschliesslich mit dem veränderten transformationsverhalten
gegenüber raumdrehung zusammen?

danke für eine erklärung,

mfg,

guido donath

Guido Donath wrote:


Spinoren sind erst einmal die Darsteller der SU(2). In der
Fundamentaldarstellung sind das zweidimensionale Vektoren über dem
Skalarenkörper C. Sie gehören zur Darstellung des Spins eines Teilchens
mit Spin 1/2. Diese Spinoren kommen überall in der
nichtrelativistischen wie in der relativistischen Physik vor. Man nennt
sie auch Weylspinoren (nach dem Mathematiker Hermann Weyl, der die
Physik sehr gemocht hat).

In der relativistischen Quantentheorie hat man es mit Darstellungen der
Lorentz- bzw. Poincaregruppe zu tun. Statt der Lorentzgruppe selbst
betrachtet man deren Überlagerungsgruppe SL(2,C), genau wie man bei den
Drehungen ja auch deren Überlagerungsgruppe SU(2) in der QT benutzt
(warum das so ist, kannst Du unter dem Stichwort "Theorem von Wigner
und Bargner" in der Literatur finden).

Die SU(2) ist nun eine Untergruppe der SL(2,C), und man kann daher
fragen, ob sich die Spinordarstellungen der SU(2) zu Darstellungen der
SL(2,C) erweitern lassen, und das ist tatsächlich möglich!

Einfacher ist es allerdings, man fängt ganz von vorne an und läßt sich
ein bißchen von der physikalischen Anschauung helfen. Die Lorentzgruppe
enthält ja zum einen die Drehungen, die von den Drehimpulsoperatoren
erzeugt werden, zum anderen die "Boosts", die die drehungsfreie glf.
geradlinige Bewegung eines inertialen Bezugssystems zu einem anderen
bedeuten. Insgesamt hat man also die drei Generatoren J_k der Drehungen
und die drei Generatoren K_k der Boosts. Betrachtet man nun scharf die
Kommutatorrelationen dieser Generatoren (vgl. z.B. mein QFT-Skript auf
meiner Homepage), findet man heraus, daß die Kombinationen

A_j=i/2 (J_j+i K_j) und
B_j=i/2 (J_j-i K_j)

Die Kommutatorrelationen zwischen zwei voneinander unabhängigen
SU(2)-Liealgebren erfüllen,also

[A_j,A_k]=i eps_{jkl} A_l
[B_j,B_k]=i eps_{jkl} B_l
[A_j,B_k]=0

Man bekommt also Darstellungen der SL(2,C) (genauer gesagt von deren
Liealgebra!) durch Objekte mit zwei Indizes Psi_{jk}, wobei sich j auf
die "Drehimpulse" (haben die eigentlich einen Namen?) A und k auf die
"Drehimpulse" B bezieht.

Man kann nun diese "Drehimpulse" unabhängig voneinander durch die
bekannten Darstellungen zu J=0,1/2,1,... darstellen. Man spricht dann
von der (a,b)-Darstellung der SL(2,C). In der Physik der
Elementarteilchen braucht man zum Glück nur die kleinen Dimensionen.

Der einfachste Fall ist a=b=0. Das sind die Skalare, denn da bewirken ja
die "Drehungen", die von A und B erzeugt werden, nichts. Das ist die
sog. triviale Darstellung.

Es gibt dann zwei echt voneinander verschiedene, also nicht ineinander
durch Ähnlichkeitsabbildungen überführbare zweidimensionale
Darstellungen, nämlich

(1/2,0) und (0,1/2)

Das sind zwei verschiedene Weylspinoren bzgl. der Darstellungen der
SL(2,C). Betrachtet man die Untergruppe SU(2), die Drehungen
repräsentieren, so stellt man fest, daß diese Darstellungen zueinander
äquivalent sind. Das muß so sein, weil es ja nur die eine
zweidimensionale Darstellung der SU(2), die Fundamentaldarstellung
nämlich, gibt. Bzgl. der SL(2,C) sind die Darstellungen aber
verschieden, und insofern sind es zwei verschiedene Objekte.

Das wird etwas klarer, wenn man diese sog. eigentlich orthochrone
Lorentzgruppe, d.h. der Teil der Lorentzgruppe, der durch stetige
Deformation aus der Identität hervorgeht, um die Raumspiegelungen
erweitert.

Da stellt man fest, daß mit (1/2,0)-Spinoren oder (0,1/2)-Spinoren
allein nur die triviale Darstellung der Raumspiegelung möglich ist.
Will man die Raumspiegelungen nichttrivial darstellen, muß man die
direkte Summe (1/2,0) + (0,1/2) betrachten, was einen vierdimensionaler
Spinorraum ergibt, wo die oberen beiden Komponenten einen (1/2,0) und
die unteren beiden einen (0,1/2)-Spinor bilden. Diese vierdimensionalen
Spinoren nennt man daher Bispinoren, weil sie eben aus zwei einfachen
Weylspinoren zusammengebastelt sind. Sie heißen auch Diracspinoren,
weil das genau die Spinoren sind, die in der Diracgleichung vorkommen.

Bzgl. der SL(2,C) ist das eine reduzible Darstellung, weil es ja gerade
die direkte Summe zweier (irreduzibler) Darstellungen ist, aber will
man die Raumspiegelungen nichttrivial darstellen, muß man jeden (1/2,0)
in einen (0,1/2)-Spinor und umgekehrt abbilden. Deshalb bezeichnet man
auch die Weylspinoren als chirale Spinoren und sagt, die eine Sorte
beschreibe linkshändige, die andere rechtshändige Teilchen. Die
Raumspiegelung macht ja dann aus einem linkshändigen rechtshändige
Teilchen und umgekehrt.

--
Hendrik van Hees Cyclotron Institute
Phone: +1 979/845-1411 Texas A&M University
Fax: +1 979/845-1899 Cyclotron Institute, MS-3366
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hallo,

vielen dank für die ausführliche erklärung. ich war nich darauf
gefasst, dass man da so viel gruppentheorie braucht. ich höre die qed
eher interessenhalber als experimentalo. daher noch ein paar fragen:



ok


was hat es mit der überlagerungsgruppe auf sich? die lorenzgruppe ist
doch diejenige gruppe, die die lorentztransformation darstellt. was
stellt denn die überlagerungsgruppe zusätzlich dar?


ok


also man baut sich "neue" Objekte auf, die die Drehimpulsalgebra
erfüllen...


ok


öhm, also ich habe jetzt meine neuen Drehimpulse A und B. Ein Objekt
mit _zwei_ indices ist doch aber vielmehr eine Matrix, respektive ein
Tensot, denn ein Spinor. Wie baue ich denn jetzt dieses Objekt mit den
zwei Indices aus den neuen Drehimpulsen A und B auf?


ok


wieso gerade 1/2. Widerspiegelt dies jetzt, dass wir von
Spin-1/2-Teilchen reden?


ok


ok



Grüße,

Guido

Guido Donath wrote:


Oh je, da hab' ich Dich ja überfallen ;-)). Schaden tut's aber auch
einem Exi nicht, wenn er über die Lorentz- bzw. Poincaregruppe bescheid
weiß :-)). Ich finde es aber auch an sich faszinierend, wieviel man aus
der reinen Symmetrieanalyse der Raumzeit über Teilchen herauskriegt.


Das ist wieder ein recht mathematisches Feld. Der Punkt ist, daß in der
Quantentheorie nicht die Hilbertraumvektoren (z.B. realisiert durch
Schödingersche Wellenfunktionen in der nichtrelativistischen
Quantenmechanik) die Zustände beschreiben, sondern die sog. Strahlen im
Hilbertraum, denn die Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte etc. hängen
nicht von irgendwelchen von 0 verschiedenen Faktoren der Vektoren ab.
Die kürzen sich immer wieder heraus.

Fragt man nun nach Symmetrieoperationen der Quantentheorie, kommt man
nach längeren mathematischen Betrachtungen (ich habe die in meinem
Quantenfeldtheorieskript auf meiner Homepage knapp zusammengestellt,
ohne daß das irgendwelche Ansprüche an mathematische Exaktheit erhebt)
darauf, daß man bei Liegruppen wie der Drehgruppe genausogut deren
Überlagerungsgruppe betrachten kann. Dann kommt heraus, daß man die
Drehungen nicht nur durch unitäre Darstellungen im Hilbertraum
realisieren kann, sondern auch durch Darstellungen der SU(2), wodurch
man auf die Möglichkeit von Teilchen mit halbzahligem Spin geführt
wird.

Natürlich entscheidet stets das Experiment, ob all diese komplizierten
Hirngespinste der Mathematiker richtig sind. Natürlich hat sich die QT
in vielerlei Hinsicht bestens bewährt. Insbesondere weiß man spätestens
seit Dirac, daß es Teilchen mit Spin 1/2 gibt. Experimentell ist das
als erstes herausgekommen, indem man die Feinstruktur der
Wasserstoffatome betrachtet hat. Schrödinger hatte nämlich z.B. vor
seiner nichtrelativistischen Gleichung die (heute Klein-Gordongleichung
genannte) relativistische Gleichung für ein Spin-0-Teilchen angesetzt
und das Eigenwertproblem zum Wasserstoffatom gelöst. Die Energieniveaus
stimmten nicht. Die Diracgleichung, die zwar eine ganz andere
Motivation hatte (Lösung des Problems der Zustände "negativer
Energie"), ergab ein Elektron mit Spin 1/2 (und Gyrofaktor 2), was die
richtige Feinstruktur des Wasserstoffspektrums lieferte.


Das ist der Trick. Wenn einmal die Darstellungen Drehimpulsalgebra
geknackt hat, hat man damit auch die Algebra der Lorentzgruppe
erschlagen ;-)).

Na ja, Deine Vektoren, auf denen diese Darstellungen operieren haben
jetzt zwei Spinor (oder Vektor-)Indizes. Die Wirkung der
A-Drehimpulsoperatoren ist die auf den ersten, die der B-Operatoren auf
den zweiten Index.


Das sind eben die nächsteinfachen Darstellungen, eben die zu a=1/2 und
b=0 bzw. zu a=0 und b=1/2. Beides sind mögliche Realisierungen von
Teilchen mit Spin 1/2, denn die richtigen Drehungen werden jeweils
wieder durch SU(2)-Transformationen dargestellt. Es war ja

A_j=1/2 (J_j+i K_j) und
B_j=1/2 (J_j-i K_j)

und J_j waren ja die "normalen" Drehimpulsoperatoren. Folglich ist

J_j=A_j+B_j

Da die A_j und B_j ja jetzt (übrigens ohne Beschränkung der
Allgemeinheit) durch selbstadjungierte Matrizen dargestellt werden,
sind die J_j auch selbstadjungiert, wie es sich für Drehimpulse gehört.

Für die Darstellung (1/2,0) sind die A_j=1/2 \sigma_j
(\sigma_j=Paulimatrizen) und B_j=0, so daß es sich also bzgl. der
Drehungen um gewöhnliche Weylspinoren handelt.

Die K_j sind übrigens jetzt zwingend nicht selbstadjungiert:

K_j=1/(2i)(A_j-B_j).

Die Boosts werden also nicht durch unitäre Transformationen auf diesen
Spinoren dargestellt. Es gibt überhaupt keine endlichdimensionalen
unitären Darstellungen der Lorentzgruppe!

Wie man die unitären Darstellungen der ganzen Poincaregruppe (also
Lorentzgruppe und Raum-Zeittranslationen zusammengenommen) kriegt,
findest Du wieder in meinem Skript (oder natürlich viel besser bei
Weinberg, Quantum Theory of Fields, Vol. I).

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