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Rotation von Kraftfelder

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  #1  
Old 12-04-2003, 11:41 PM
Klaus Kratschkowskie
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gegeben ist ein Kraftfeld

F=a(br)

natürlich sollen a und b konstante Vektoren sowie r der Vektor(x,y,z) sein.

Vielleicht geht es auch irgendwie einfacher, aber ich habe die Vektoren in
mit ihren einzelnen Komponenten aufgeschrieben und erhalten:

rot F = e1(az*by-ay*bz) - e2(az*bx-ax*bz)-e3(ay*bx-ax*by)

und das sieht mir aus wie (bxa).

Stimmt das? Geht es vielleicht auch einfacher?

Jedenfalls ist das Kraftfeld nur konservativ, wenn die Vektoren a und b lin.
abhängig sind. Und für diesen Fall möchte ich nun das Potential bestimmen.
Also:
a=Cb (C ist eine Konstante Zahl)

/int Cb(br) dr = V

Muss ich die Vektoren jetzt wieder in ihre einzelne Komponente aufschreibe
um zu integrieren? Das Integral ist wegunabhängig, aber wie mach ich das mit
dem Skalarprodukt?


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  #2  
Old 12-05-2003, 08:48 AM
Hendrik van Hees
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Klaus Kratschkowskie wrote:


Don't panic. Erst mal zur Rotation. Mit der Summationskonvention gilt:

rot[a (b r)]_i=\epsilon_{ijk} \partial_j [a_k (b r)]
=\epsilon_{ijk} a_k b_j=(b x a)_i,

was Dein Resultat bestätigt.

Es ist also rot F genau dann 0, wenn a=C b. Das ist also auch korrekt.

Um jetzt zum Potential zu gelangen, gibt es zwei Möglichkeiten. Man kann
das Wegintegral ausrechnen oder die Differentialgleichung

F=-grad phi

komponentenweise hinschreiben und der Reihe nach hochintegrieren.

Es gilt

F_1=-\partial \phi/\partial x_1=C b_1 (b r)
=C b_1 (b1 x+b2 y + b3 z)

Nach x integriert:

phi=-C b_1 (b1/2 x^2 + b2 y x + b3 z x) + psi(y,z)

usw.



--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße 25
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  #3  
Old 12-05-2003, 09:27 PM
Klaus Kratschkowskie
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> > gegeben ist ein Kraftfeld

Genau so hatte ich das auch gemacht und psi ist dann:

psi(y,z)= C b_2^2/2 y^2 + C b_3 (b_2 y z + b_3/2 z^2)

Bei der 2. Variante muss man aufpassen, dass man nichts doppelt hat.
Und ich dachte es wäre falsch, weil man es so schlecht zusammenfassen
kann...



Ich habe mir das ausfuehrlich aufgeschrieben, um mir das naeher zu bringen,
allerdings konnte ich mir nicht erklaeren was es bedeutet...
insbesondere "\epsilon_{ijk}"

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist jenes der Ausgang:

rot[a (b r)]_i = [\partial_a_k/\partial_j - \partial_a_j/\partial_k]

Aber wie komme ich auf "\epsilon_{ijk} \partial_j [a_k (b r)]"?

Vielleicht finde ich das ja im Bronstein... mal sehen.
Danke!






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  #4  
Old 12-06-2003, 12:17 PM
Hendrik van Hees
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Klaus Kratschkowskie wrote:


Das ist das sog. Levi-Civita-Symbol. Es ist definiert als 1, wenn (ijk)
eine gerade und (-1), wenn (ijk) eine ungerade Permutation der Zahlen
(123) ist.

Ups? Es wird doch nach den r_j abgeleitet. \partial_j ist die Abkürzung
für \partial/\partial r_j.

BTW: Es kommt bald ein kleines Skriptchen von mir über Vektoranalysis,
wie ich es schon lange schreiben wollte. Da steht dann alles
ausführlich drin. Ich hoffe, daß man damit die Anfangsschwierigkeiten
im 3. Semester bei der E-Dynamik (vor dem Bulmahnwahnsinn namens
Bachelor Studiengang im 4. Semester) vermeiden kann.

--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
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kraftfelder , rotation , von


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